大阪大学 1968年 文系 第4問 解説

方針・初手

$f(x)$ の式は積分の上端に変数が含まれているため、「両辺を微分する」か、あるいは「被積分関数の導関数部分をそのまま積分する」ことで式を整理します。 一方で、$g(x)$ の式に含まれる定積分は、積分区間が定数のみで構成されているため、その値自体も定数となります。したがって、これを適当な文字で置くのが定石です。

解法1

与えられた連立方程式を以下のようにおく。

$$f(x) = 1 - \int_0^x \{f'(t) - g(t)\} dt \cdots (1)$$

$$g(x) = x^2 + x - \int_0^1 \{f(t) + g'(t)\} dt \cdots (2)$$

式(1)について、右辺の積分を実行すると、

$$\int_0^x \{f'(t) - g(t)\} dt = \int_0^x f'(t) dt - \int_0^x g(t) dt$$

$$= \bigl[ f(t) \bigr]_0^x - \int_0^x g(t) dt$$

$$= f(x) - f(0) - \int_0^x g(t) dt$$

これを(1)に代入して整理する。

$$f(x) = 1 - \left\{ f(x) - f(0) - \int_0^x g(t) dt \right\}$$

$$2f(x) = 1 + f(0) + \int_0^x g(t) dt \cdots (3)$$

また、(1)の両辺に $x=0$ を代入すると、定積分の性質から $\int_0^0 = 0$ となるため、

$$f(0) = 1$$

これを(3)に代入して、

$$2f(x) = 2 + \int_0^x g(t) dt$$

$$f(x) = 1 + \frac{1}{2} \int_0^x g(t) dt \cdots (4)$$

次に、式(2)について、$\int_0^1 \{f(t) + g'(t)\} dt$ は定数であるため、これを実数 $C$ とおく。

$$C = \int_0^1 \{f(t) + g'(t)\} dt \cdots (5)$$

すると、関数 $g(x)$ は次のように表される。

$$g(x) = x^2 + x - C \cdots (6)$$

これを(4)に代入し、$f(x)$ を $C$ を用いて表す。

$$f(x) = 1 + \frac{1}{2} \int_0^x (t^2 + t - C) dt$$

$$f(x) = 1 + \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{3}t^3 + \frac{1}{2}t^2 - Ct \right]_0^x$$

$$f(x) = \frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{2}Cx + 1 \cdots (7)$$

ここで、定数 $C$ の値を決定するために、(6)および(7)を(5)に代入する。(6)より $g'(x) = 2x + 1$ であるから、

$$C = \int_0^1 \left\{ \left( \frac{1}{6}t^3 + \frac{1}{4}t^2 - \frac{1}{2}Ct + 1 \right) + (2t + 1) \right\} dt$$

$$C = \int_0^1 \left\{ \frac{1}{6}t^3 + \frac{1}{4}t^2 + \left( 2 - \frac{1}{2}C \right)t + 2 \right\} dt$$

定積分を計算する。

$$C = \left[ \frac{1}{24}t^4 + \frac{1}{12}t^3 + \frac{1}{2}\left( 2 - \frac{1}{2}C \right)t^2 + 2t \right]_0^1$$

$$C = \frac{1}{24} + \frac{1}{12} + \frac{2 - \frac{1}{2}C}{2} + 2$$

$$C = \frac{1}{8} + 1 - \frac{1}{4}C + 2$$

$$C = \frac{25}{8} - \frac{1}{4}C$$

両辺に $\frac{1}{4}C$ を足して整理する。

$$\frac{5}{4}C = \frac{25}{8}$$

$$C = \frac{5}{2}$$

求まった $C$ の値を(6)および(7)に代入し、求める関数を得る。

$$f(x) = \frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{4}x^2 - \frac{5}{4}x + 1$$

$$g(x) = x^2 + x - \frac{5}{2}$$

解法2

式(1)の両辺を $x$ について微分する。微分積分学の基本定理より、

$$f'(x) = - \{ f'(x) - g(x) \}$$

$$2f'(x) = g(x) \cdots (8)$$

また、(1)の両辺に $x=0$ を代入すると、

$$f(0) = 1 \cdots (9)$$

定積分 $\int_0^1 \{f(t) + g'(t)\} dt$ を定数 $C$ とおくと、(2)は以下のように表される。

$$g(x) = x^2 + x - C \cdots (10)$$

(10)を(8)に代入する。

$$2f'(x) = x^2 + x - C$$

$$f'(x) = \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}C$$

両辺を $x$ で積分する。$C_1$ を積分定数とすると、

$$f(x) = \int \left( \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}C \right) dx$$

$$f(x) = \frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{2}Cx + C_1$$

条件(9)より $f(0) = 1$ であるから、$C_1 = 1$ となる。よって、

$$f(x) = \frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{2}Cx + 1 \cdots (11)$$

これ以降は解法1と同様に、(10)と(11)を用いて $C$ についての1次方程式を立てて解くことで、$C = \frac{5}{2}$ と求まり、$f(x), g(x)$ が決定される。

解説

積分方程式の典型的な問題です。 積分方程式には大きく分けて2つのパターンが含まれています。 1つ目は、積分区間に変数 $x$ を含むパターン（本問の $f(x)$ ）です。これは「両辺を微分する」か「積分を直接実行する」、そして「定まる値を代入する」という操作が有効です。 2つ目は、積分区間が定数から定数までとなっているパターン（本問の $g(x)$ ）です。定積分は全体として1つの定数値となるため、それを文字で置くことが鉄則です。 これらの基本方針を適切に組み合わせることで、最終的に未知の定数についての1次方程式に帰着させることができます。

答え

$$f(x) = \frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{4}x^2 - \frac{5}{4}x + 1$$

$$g(x) = x^2 + x - \frac{5}{2}$$