大阪大学 1969年 理系 第5問 解説

方針・初手

(1) 被積分関数が三角関数 $\sin t$ と対数関数 $\log(1 + \sin t)$ の積であるため、$(\sin t)$ を $(-\cos t)'$ とみて部分積分を実行する。

(2) 微分積分学の基本定理により、$f(x)$ を $x$ で微分して $f'(x)$ を求める。さらに微分して $f''(x)$ を計算し、それぞれの符号を調べることで増減と凹凸の表（増減表）を作成する。

解法1

(1)

求める値は $f(\pi) = \int_0^\pi (\sin t) \log(1 + \sin t) dt$ である。

$\sin t = (-\cos t)'$ とみて部分積分法を用いると、

$$ \begin{aligned} f(\pi) &= \int_0^\pi (-\cos t)' \log(1 + \sin t) dt \\ &= \Bigl[ -\cos t \log(1 + \sin t) \Bigr]_0^\pi - \int_0^\pi (-\cos t) \cdot \frac{\cos t}{1 + \sin t} dt \end{aligned} $$

第1項について、

$$ \Bigl[ -\cos t \log(1 + \sin t) \Bigr]_0^\pi = -\cos\pi \log(1+\sin\pi) + \cos 0 \log(1+\sin 0) = -(-1)\log 1 + 1 \cdot \log 1 = 0 $$

第2項の積分について、$\cos^2 t = 1 - \sin^2 t$ を用いると、

$$ \begin{aligned} \int_0^\pi \frac{\cos^2 t}{1 + \sin t} dt &= \int_0^\pi \frac{1 - \sin^2 t}{1 + \sin t} dt \\ &= \int_0^\pi \frac{(1 - \sin t)(1 + \sin t)}{1 + \sin t} dt \\ &= \int_0^\pi (1 - \sin t) dt \\ &= \Bigl[ t + \cos t \Bigr]_0^\pi \\ &= (\pi + \cos \pi) - (0 + \cos 0) \\ &= (\pi - 1) - 1 \\ &= \pi - 2 \end{aligned} $$

したがって、

$$ f(\pi) = 0 - (-(\pi - 2)) = \pi - 2 $$

(2)

$f(x) = \int_0^x (\sin t) \log(1 + \sin t) dt$ を $x$ で微分すると、

$$ f'(x) = \sin x \log(1 + \sin x) $$

$0 \leqq x \leqq \pi$ において $\sin x \geqq 0$ であり、$1 + \sin x \geqq 1$ より $\log(1 + \sin x) \geqq 0$ であるから、常に $f'(x) \geqq 0$ である。等号は $\sin x = 0$ すなわち $x = 0, \pi$ のときに成り立つ。よって、$f(x)$ は区間 $0 \leqq x \leqq \pi$ で単調に増加する。

さらに $f'(x)$ を微分して $f''(x)$ を求める。

$$ \begin{aligned} f''(x) &= \cos x \log(1 + \sin x) + \sin x \cdot \frac{\cos x}{1 + \sin x} \\ &= \cos x \left( \log(1 + \sin x) + \frac{\sin x}{1 + \sin x} \right) \end{aligned} $$

$0 < x < \pi$ において $\sin x > 0$ であるから、

$$ \log(1 + \sin x) > 0, \quad \frac{\sin x}{1 + \sin x} > 0 $$

よって $\log(1 + \sin x) + \frac{\sin x}{1 + \sin x} > 0$ となり、$f''(x)$ の符号は $\cos x$ の符号と一致する。

したがって、$0 < x < \frac{\pi}{2}$ のとき $f''(x) > 0$（下に凸）、$\frac{\pi}{2} < x < \pi$ のとき $f''(x) < 0$（上に凸）となる。

変曲点の $y$ 座標 $f(\frac{\pi}{2})$ を求める。(1) と同様の部分積分より、

$$ \begin{aligned} f\left(\frac{\pi}{2}\right) &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin t) \log(1 + \sin t) dt \\ &= \Bigl[ -\cos t \log(1 + \sin t) \Bigr]_0^{\frac{\pi}{2}} + \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1 - \sin t) dt \\ &= 0 + \Bigl[ t + \cos t \Bigr]_0^{\frac{\pi}{2}} \\ &= \left(\frac{\pi}{2} + 0\right) - (0 + 1) \\ &= \frac{\pi}{2} - 1 \end{aligned} $$

また、$f(0) = 0$ であり、(1) より $f(\pi) = \pi - 2$ である。

以上から、$f(x)$ の増減およびグラフの凹凸の表は次のようになる。

この増減表より、$y = f(x)$ のグラフの概形は以下の特徴をもつ曲線となる。

• 原点 $(0,0)$ を出発し、単調に増加して終点 $(\pi, \pi-2)$ に至る。
• 点 $(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}-1)$ が変曲点であり、これより左側では下に凸、右側では上に凸となる。
• $x=0$ および $x=\pi$ において $f'(x) = 0$ となるため、両端点における接線の傾きは $0$（水平）である。

解説

定積分で表された関数の微分の基本事項と、部分積分を用いた計算問題である。

(1) では対数関数が含まれるため、$\sin t$ を微分された関数と見て部分積分を行うのが自然な発想である。その後の分数関数の積分では、$\cos^2 t = 1 - \sin^2 t$ と変形して約分することで容易に多項式と三角関数の形に帰着できる。

(2) では $f'(x)$ を求める際は被積分関数の $t$ を $x$ に置き換える。凹凸を調べるための $f''(x)$ の符号判定において、共通因数 $\cos x$ で括った後の括弧内が常に正であることを理由を添えてしっかり言及することが重要である。また、グラフの概形を描く上で、両端での接線の傾きが $0$ になることや、変曲点の座標を正確に求めることがポイントとなる。

答え

(1)

$f(\pi) = \pi - 2$

(2)

$f(x)$ は $0 \leqq x \leqq \pi$ で単調増加する。

曲線 $y = f(x)$ は $0 < x < \frac{\pi}{2}$ の範囲で下に凸、$\frac{\pi}{2} < x < \pi$ の範囲で上に凸である。

グラフの概形は、両端点 $(0,0)$ と $(\pi, \pi-2)$ で接線の傾きが水平となり、変曲点 $(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}-1)$ を境に下に凸から上に凸に変わる単調増加の曲線となる。