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大阪大学 1983年文系第2問解説

方針・初手

重心の座標を求める公式を用いて、点 $P_n$ の $x$ 座標、$y$ 座標に関する漸化式を立てる。漸化式を解いて $P_n$ の座標の一般項を求め、第4象限にある条件（$x > 0$ かつ $y < 0$）を満たす自然数 $n$ を探す。記述を簡潔にするため、与えられた点 $P$ を $P_0$ とおいて初項として扱うとよい。

解法1

点 $P_n$ の座標を $(x_n, y_n)$ とする。便宜上、$P_0 = P$ とおくと、$x_0 = -300$、$y_0 = -600$ である。点 $P_{n+1}$ は $\triangle ABP_n$ の重心であるから、重心の座標の公式より、

$$ x_{n+1} = \frac{1 + 2 + x_n}{3} = \frac{1}{3}x_n + 1 $$

$$ y_{n+1} = \frac{1 + 2 + y_n}{3} = \frac{1}{3}y_n + 1 $$

数列 $\{x_n\}$ についての漸化式を変形すると、

$$ x_{n+1} - \frac{3}{2} = \frac{1}{3} \left( x_n - \frac{3}{2} \right) $$

となる。数列 $\left\{ x_n - \frac{3}{2} \right\}$ は、初項 $x_0 - \frac{3}{2} = -300 - \frac{3}{2} = -\frac{603}{2}$、公比 $\frac{1}{3}$ の等比数列であるから、

$$ x_n - \frac{3}{2} = -\frac{603}{2} \left( \frac{1}{3} \right)^n $$

$$ x_n = \frac{3}{2} - \frac{603}{2 \cdot 3^n} $$

同様に、数列 $\{y_n\}$ についての漸化式を変形すると、

$$ y_{n+1} - \frac{3}{2} = \frac{1}{3} \left( y_n - \frac{3}{2} \right) $$

となる。数列 $\left\{ y_n - \frac{3}{2} \right\}$ は、初項 $y_0 - \frac{3}{2} = -600 - \frac{3}{2} = -\frac{1203}{2}$、公比 $\frac{1}{3}$ の等比数列であるから、

$$ y_n - \frac{3}{2} = -\frac{1203}{2} \left( \frac{1}{3} \right)^n $$

$$ y_n = \frac{3}{2} - \frac{1203}{2 \cdot 3^n} $$

点 $P_n$ が第4象限にあるための条件は、$x_n > 0$ かつ $y_n < 0$ である。

(i)

$x_n > 0$ となる条件

$$ \frac{3}{2} - \frac{603}{2 \cdot 3^n} > 0 $$

両辺を $\frac{2}{3}$ 倍して整理すると、

$$ 1 - \frac{201}{3^n} > 0 $$

$$ 3^n > 201 $$

$3^4 = 81$、$3^5 = 243$ であるから、これを満たす自然数 $n$ は $n \geqq 5$ である。

(ii)

$y_n < 0$ となる条件

$$ \frac{3}{2} - \frac{1203}{2 \cdot 3^n} < 0 $$

両辺を $\frac{2}{3}$ 倍して整理すると、

$$ 1 - \frac{401}{3^n} < 0 $$

$$ 3^n < 401 $$

$3^5 = 243$、$3^6 = 729$ であるから、これを満たす自然数 $n$ は $n \leqq 5$ である。

（i）と（ii）を同時に満たす自然数 $n$ は、$n = 5$ のみである。

解説

三角形の重心の座標公式を用いて、$x$ 座標と $y$ 座標の漸化式を別々に立てて解く典型的な問題である。最初から $x$ と $y$ で同じ形の漸化式になることがわかるため、$x$ と $y$ の式を平行して処理すると見通しが良い。問題文の $P_1$ の定義に合わせ、$P = P_0$ とおくことで、自然数 $n$ に対する一般項を $n=0$ を初項としてスムーズに導出できる。

第4象限の条件「$x > 0$ かつ $y < 0$」を正確に立式した後は、得られた指数不等式を解くだけである。$3^n$ の値（$3^4=81$, $3^5=243$, $3^6=729$ など）を計算すれば、条件を満たす $n$ はピンポイントで定まる。