トップ› 大阪大学› 1987年› 文系第4問

大阪大学 1987年文系第4問解説

方針・初手

球 $S$ が原点で $zx$ 平面 ($y=0$) に接することから、球の中心 $C$ の座標を文字でおき、条件から決定する。(1) は中心 $C$ の座標さえ求まれば、ベクトルの成分計算から内積と三角形の面積を直接求めることができる。(2) は2点 $A$, $B$ を通る直線のベクトル方程式を作り、その直線上の点が球 $S$ の方程式を満たす条件（あるいは中心 $C$ からの距離の2乗が半径の2乗に等しいという条件）を立式してパラメータの値を求める。

解法1

球 $S$ は原点 $(0, 0, 0)$ において $zx$ 平面（方程式 $y = 0$）に接する。したがって、中心 $C$ の $x$ 座標と $z$ 座標は $0$ であり、$C$ は $y$ 軸上にある。中心 $C$ の座標を $(0, y_c, 0)$ とおく。球 $S$ の半径は $2$ であるから、$|y_c| = 2$ より $y_c = \pm 2$ である。

ここで、球 $S$ は $zx$ 平面に関して点 $A(2, 4, 0)$ と同じ側にある。点 $A$ の $y$ 座標は $4 > 0$ であるため、中心 $C$ の $y$ 座標も正である。よって $y_c = 2$ となり、中心 $C$ の座標は $C(0, 2, 0)$ である。

(1)

3点 $A(2, 4, 0)$、$B(0, -5, 6)$、$C(0, 2, 0)$ より、ベクトル $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ の成分は以下のようになる。

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{AB} &= (0 - 2, -5 - 4, 6 - 0) = (-2, -9, 6) \\ \overrightarrow{AC} &= (0 - 2, 2 - 4, 0 - 0) = (-2, -2, 0) \end{aligned} $$

これらの内積 $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ は、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} &= (-2) \cdot (-2) + (-9) \cdot (-2) + 6 \cdot 0 \\ &= 4 + 18 + 0 \\ &= 22 \end{aligned} $$

次に、三角形 $ABC$ の面積を求める。各ベクトルの大きさの2乗は以下の通りである。

$$ \begin{aligned} |\overrightarrow{AB}|^2 &= (-2)^2 + (-9)^2 + 6^2 = 4 + 81 + 36 = 121 \\ |\overrightarrow{AC}|^2 &= (-2)^2 + (-2)^2 + 0^2 = 4 + 4 = 8 \end{aligned} $$

三角形 $ABC$ の面積を $S_{\triangle}$ とすると、

$$ \begin{aligned} S_{\triangle} &= \frac{1}{2} \sqrt{|\overrightarrow{AB}|^2 |\overrightarrow{AC}|^2 - (\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC})^2} \\ &= \frac{1}{2} \sqrt{121 \cdot 8 - 22^2} \\ &= \frac{1}{2} \sqrt{968 - 484} \\ &= \frac{1}{2} \sqrt{484} \\ &= \frac{1}{2} \cdot 22 \\ &= 11 \end{aligned} $$

(2)

2点 $A$, $B$ を通る直線上の点を $P$ とすると、実数 $t$ を用いて次のように表せる。

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OP} &= \overrightarrow{OA} + t\overrightarrow{AB} \\ &= (2, 4, 0) + t(-2, -9, 6) \\ &= (2 - 2t, 4 - 9t, 6t) \end{aligned} $$

点 $P$ が球 $S$ 上にあるとき、中心 $C(0, 2, 0)$ との距離の2乗が半径の2乗（すなわち $4$）に等しいから、$|\overrightarrow{CP}|^2 = 4$ が成り立つ。

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{CP} &= \overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OC} \\ &= (2 - 2t, 4 - 9t, 6t) - (0, 2, 0) \\ &= (2 - 2t, 2 - 9t, 6t) \end{aligned} $$

より、

$$ \begin{aligned} |\overrightarrow{CP}|^2 &= (2 - 2t)^2 + (2 - 9t)^2 + (6t)^2 = 4 \end{aligned} $$

これを展開して整理する。

$$ \begin{aligned} (4 - 8t + 4t^2) + (4 - 36t + 81t^2) + 36t^2 &= 4 \\ 121t^2 - 44t + 8 &= 4 \\ 121t^2 - 44t + 4 &= 0 \\ (11t - 2)^2 &= 0 \end{aligned} $$

よって、$t = \frac{2}{11}$ （重解）となる。実数 $t$ がただ1つ定まるため、直線 $AB$ は球 $S$ と接することがわかる。共有点の座標は、$\overrightarrow{OP}$ の成分に $t = \frac{2}{11}$ を代入して求めることができる。

$$ \begin{aligned} x &= 2 - 2 \cdot \frac{2}{11} = \frac{22 - 4}{11} = \frac{18}{11} \\ y &= 4 - 9 \cdot \frac{2}{11} = \frac{44 - 18}{11} = \frac{26}{11} \\ z &= 6 \cdot \frac{2}{11} = \frac{12}{11} \end{aligned} $$

したがって、求める共有点の座標は $\left(\frac{18}{11}, \frac{26}{11}, \frac{12}{11}\right)$ である。

解説

空間座標における図形の方程式とベクトルの基本的な扱いを問う標準的な問題である。初手で球の中心の座標を正しく設定できるかが鍵となる。座標平面に接する球の性質から、中心から接点へのベクトルがその平面の法線ベクトルと平行になることを利用する。今回は原点で $zx$ 平面（$y=0$）に接するため、中心の $x$ 座標と $z$ 座標が $0$ になる。 (1) はベクトルの成分計算による内積と、面積公式の適用である。(2) の直線のベクトル方程式は空間図形において必須の処理であり、計算過程で重解が出現することで直線が球に接しているという幾何学的な位置関係を自然に確認できる構造になっている。