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大阪大学 2011年文系第3問解説

方針・初手

(1) は成分計算を行い、$s, t$ を $x, y$ の連立方程式とみて解き、$x, y$ の式で表せることを示す。

(2) は、与えられた条件式($*$)の左辺が $\vec{p}$ に関して線形（加法性とスカラー倍を保つ）であることを利用する。任意のベクトル $\vec{v}$ が $\vec{v}_1$ と $\vec{v}_2$ の線形結合（実数倍の和）で表せるという(1)の結果を用いる。

(3) は(2)の逆の論理を利用する。すべてのベクトルで条件($*$)が成り立つことと、$\vec{v}_1, \vec{v}_2$ のそれぞれで条件($*$)が成り立つことが同値となるため、$\vec{p} = \vec{v}_1$ と $\vec{p} = \vec{v}_2$ をそれぞれ($*$)に代入し、両辺の $\vec{v}_1, \vec{v}_2$ の係数を比較して連立方程式を立てる。

解法1

(1)

$\vec{v} = (x, y)$ とし、$\vec{v} = s\vec{v}_1 + t\vec{v}_2$ を成分で表すと、

$$ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = s \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 1 \\ 2\sqrt{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3s + t \\ 2\sqrt{2}t \end{pmatrix} $$

各成分を比較して、次の連立方程式を得る。

$$ \begin{cases} x = 3s + t \\ y = 2\sqrt{2}t \end{cases} $$

第2式より、

$$ t = \frac{y}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}y $$

これを第1式に代入して $s$ について解くと、

$$ 3s = x - t = x - \frac{\sqrt{2}}{4}y $$

$$ s = \frac{1}{3}x - \frac{\sqrt{2}}{12}y $$

このように、$s, t$ をそれぞれ $x, y$ の式で表すことができるため、座標平面上の任意のベクトル $\vec{v} = (x, y)$ が $\vec{v} = s\vec{v}_1 + t\vec{v}_2$ と表されることが示された。

(2)

任意のベクトル $\vec{p}$ に対する関数 $f(\vec{p})$ を次のように定義する。

$$ f(\vec{p}) = (\vec{v}_1 \cdot \vec{p})\vec{v}_1 + (\vec{v}_2 \cdot \vec{p})\vec{v}_2 + (\vec{v}_3 \cdot \vec{p})\vec{v}_3 $$

内積の性質より、任意の実数 $k, l$ と任意のベクトル $\vec{q}, \vec{r}$ に対して、

$$ \begin{aligned} f(k\vec{q} + l\vec{r}) &= \{\vec{v}_1 \cdot (k\vec{q} + l\vec{r})\}\vec{v}_1 + \{\vec{v}_2 \cdot (k\vec{q} + l\vec{r})\}\vec{v}_2 + \{\vec{v}_3 \cdot (k\vec{q} + l\vec{r})\}\vec{v}_3 \\ &= \{k(\vec{v}_1 \cdot \vec{q}) + l(\vec{v}_1 \cdot \vec{r})\}\vec{v}_1 + \{k(\vec{v}_2 \cdot \vec{q}) + l(\vec{v}_2 \cdot \vec{r})\}\vec{v}_2 + \{k(\vec{v}_3 \cdot \vec{q}) + l(\vec{v}_3 \cdot \vec{r})\}\vec{v}_3 \\ &= k\{(\vec{v}_1 \cdot \vec{q})\vec{v}_1 + (\vec{v}_2 \cdot \vec{q})\vec{v}_2 + (\vec{v}_3 \cdot \vec{q})\vec{v}_3\} + l\{(\vec{v}_1 \cdot \vec{r})\vec{v}_1 + (\vec{v}_2 \cdot \vec{r})\vec{v}_2 + (\vec{v}_3 \cdot \vec{r})\vec{v}_3\} \\ &= kf(\vec{q}) + lf(\vec{r}) \end{aligned} $$

が成り立つ（線形性）。

条件($*$)は $f(\vec{p}) = c\vec{p}$ と表せる。仮定より、$\vec{p} = \vec{v}_1$ と $\vec{p} = \vec{v}_2$ の両方が条件($*$)を満たすので、

$$ f(\vec{v}_1) = c\vec{v}_1, \quad f(\vec{v}_2) = c\vec{v}_2 $$

が成り立つ。 (1)より、座標平面上のすべてのベクトル $\vec{v}$ は実数 $s, t$ を用いて $\vec{v} = s\vec{v}_1 + t\vec{v}_2$ と表せる。この $\vec{v}$ について $f(\vec{v})$ を計算すると、上で確認した線形性より、

$$ \begin{aligned} f(\vec{v}) &= f(s\vec{v}_1 + t\vec{v}_2) \\ &= sf(\vec{v}_1) + tf(\vec{v}_2) \\ &= s(c\vec{v}_1) + t(c\vec{v}_2) \\ &= c(s\vec{v}_1 + t\vec{v}_2) \\ &= c\vec{v} \end{aligned} $$

となる。したがって、座標平面上のすべてのベクトル $\vec{v}$ に対して、$\vec{p} = \vec{v}$ が条件($*$)を満たすことが示された。

(3)

(2)の結果から、「すべてのベクトル $\vec{v}$ に対して条件($*$)を満たす」ことは、「$\vec{v}_1$ と $\vec{v}_2$ の両方が条件($*$)を満たす」ことと同値である。すなわち、次の2式が成り立つ実数 $a, b, c$ を求めればよい。

$$ \begin{cases} (\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_1)\vec{v}_1 + (\vec{v}_2 \cdot \vec{v}_1)\vec{v}_2 + (\vec{v}_3 \cdot \vec{v}_1)\vec{v}_3 = c\vec{v}_1 \quad \cdots \text{①} \\ (\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2)\vec{v}_1 + (\vec{v}_2 \cdot \vec{v}_2)\vec{v}_2 + (\vec{v}_3 \cdot \vec{v}_2)\vec{v}_3 = c\vec{v}_2 \quad \cdots \text{②} \end{cases} $$

必要な内積を計算する。

$$ \begin{aligned} \vec{v}_1 \cdot \vec{v}_1 &= 3^2 + 0^2 = 9 \\ \vec{v}_2 \cdot \vec{v}_2 &= 1^2 + (2\sqrt{2})^2 = 9 \\ \vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2 &= 3 \cdot 1 + 0 \cdot 2\sqrt{2} = 3 \end{aligned} $$

また $\vec{v}_3 = a\vec{v}_1 + b\vec{v}_2$ であるから、

$$ \begin{aligned} \vec{v}_3 \cdot \vec{v}_1 &= (a\vec{v}_1 + b\vec{v}_2) \cdot \vec{v}_1 = a|\vec{v}_1|^2 + b(\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2) = 9a + 3b \\ \vec{v}_3 \cdot \vec{v}_2 &= (a\vec{v}_1 + b\vec{v}_2) \cdot \vec{v}_2 = a(\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2) + b|\vec{v}_2|^2 = 3a + 9b \end{aligned} $$

①の左辺にこれらを代入して整理する。

$$ \begin{aligned} (\text{①の左辺}) &= 9\vec{v}_1 + 3\vec{v}_2 + (9a + 3b)(a\vec{v}_1 + b\vec{v}_2) \\ &= \{9 + a(9a + 3b)\}\vec{v}_1 + \{3 + b(9a + 3b)\}\vec{v}_2 \end{aligned} $$

これが $c\vec{v}_1$ と等しく、$\vec{v}_1, \vec{v}_2$ は互いに一次独立であるため、両辺の係数を比較して、

$$ \begin{cases} 9 + 9a^2 + 3ab = c \quad \cdots \text{③} \\ 3 + 9ab + 3b^2 = 0 \quad \cdots \text{④} \end{cases} $$

同様に、②の左辺に代入して整理する。

$$ \begin{aligned} (\text{②の左辺}) &= 3\vec{v}_1 + 9\vec{v}_2 + (3a + 9b)(a\vec{v}_1 + b\vec{v}_2) \\ &= \{3 + a(3a + 9b)\}\vec{v}_1 + \{9 + b(3a + 9b)\}\vec{v}_2 \end{aligned} $$

これが $c\vec{v}_2$ と等しいので、係数を比較して、

$$ \begin{cases} 3 + 3a^2 + 9ab = 0 \quad \cdots \text{⑤} \\ 9 + 3ab + 9b^2 = c \quad \cdots \text{⑥} \end{cases} $$

④より $3b^2 + 9ab + 3 = 0$、すなわち $b^2 + 3ab + 1 = 0$ ⑤より $3a^2 + 9ab + 3 = 0$、すなわち $a^2 + 3ab + 1 = 0$

これら2式の辺々を引くと、

$$ a^2 - b^2 = 0 \iff (a - b)(a + b) = 0 $$

よって、$a = b$ または $a = -b$ となる。

(i) $a = b$ のとき

$a^2 + 3ab + 1 = 0$ に代入すると $4a^2 + 1 = 0$ となるが、これを満たす実数 $a$ は存在しないため不適。

(ii) $a = -b$ のとき

$a^2 + 3ab + 1 = 0$ に代入すると $a^2 - 3a^2 + 1 = 0$ となる。

$$ -2a^2 + 1 = 0 \iff a^2 = \frac{1}{2} $$

よって、$a = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ となり、このとき $b = \mp \frac{\sqrt{2}}{2}$ （複号同順）である。 $c$ の値は③より、

$$ c = 9 + 9a^2 + 3a(-a) = 9 + 6a^2 = 9 + 6 \cdot \frac{1}{2} = 12 $$

となる。このとき、⑥式 $c = 9 + 3a(-a) + 9(-a)^2 = 9 + 6a^2 = 12$ も満たしている。

したがって、求める実数の組は $(a, b, c) = \left( \frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}, 12 \right), \left( -\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, 12 \right)$ である。

解説

本問は、大学以降の線形代数における「ベクトルの一次独立と基底」「線形写像の基本性質」を高校数学の枠組みで表現した問題である。 (1)は $\vec{v}_1$ と $\vec{v}_2$ が平面の基底をなす（任意のベクトルをこの2つの実数倍の和で表せる）ことを成分計算で示すものである。 (2)の証明の本質は、条件($*$)の左辺が持つ「線形性」である。和とスカラー倍を分解できるという性質により、「基底となる $\vec{v}_1, \vec{v}_2$ について条件が成立すれば、その線形結合で表されるすべてのベクトルについても条件が成立する」ことが示せる。 (3)では(2)の逆を利用し、「すべてのベクトルで成り立つ」という条件を「$\vec{v}_1, \vec{v}_2$ で成り立つ」に還元することで、未知数 $a, b, c$ に関する連立方程式へと帰着させている。