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大阪大学 2015年文系第1問解説

方針・初手

与えられた条件 $|x| \leqq 1, |y| \leqq 1$ と、式に含まれる $\sqrt{1-x^2}, \sqrt{1-y^2}$ の形から、三角関数への置換を利用するのが自然な発想である。または、式の一部を平方の形に整理し、コーシー・シュワルツの不等式などを利用して評価する方針も考えられる。

解法1

条件 $|x| \leqq 1, |y| \leqq 1$ より、実数 $\alpha, \beta$ を用いて次のように置くことができる。

$$ x = \sin\alpha, \quad y = \sin\beta \quad \left(-\frac{\pi}{2} \leqq \alpha \leqq \frac{\pi}{2}, \ -\frac{\pi}{2} \leqq \beta \leqq \frac{\pi}{2}\right) $$

このとき、$\cos\alpha \geqq 0, \cos\beta \geqq 0$ であるから、平方根の部分は次のように外れる。

$$ \sqrt{1-x^2} = \sqrt{1-\sin^2\alpha} = \sqrt{\cos^2\alpha} = |\cos\alpha| = \cos\alpha $$

$$ \sqrt{1-y^2} = \sqrt{1-\sin^2\beta} = \sqrt{\cos^2\beta} = |\cos\beta| = \cos\beta $$

証明すべき不等式の中辺を $P$ とおくと、$P$ は次のように書き換えられる。

$$ P = \sin^2\alpha + \sin^2\beta - 2\sin^2\alpha\sin^2\beta + 2\sin\alpha\sin\beta\cos\alpha\cos\beta $$

ここで、前半の3項を次のように変形する。

$$ \begin{aligned} \sin^2\alpha + \sin^2\beta - 2\sin^2\alpha\sin^2\beta &= \sin^2\alpha(1-\sin^2\beta) + \sin^2\beta(1-\sin^2\alpha) \\ &= \sin^2\alpha\cos^2\beta + \cos^2\alpha\sin^2\beta \end{aligned} $$

これを $P$ に代入すると、

$$ \begin{aligned} P &= \sin^2\alpha\cos^2\beta + \cos^2\alpha\sin^2\beta + 2\sin\alpha\cos\beta\cos\alpha\sin\beta \\ &= (\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta)^2 \end{aligned} $$

加法定理より、括弧の中身は $\sin(\alpha+\beta)$ となるため、

$$ P = \sin^2(\alpha+\beta) $$

任意の実数 $\theta$ に対して $0 \leqq \sin^2\theta \leqq 1$ が成り立つので、

$$ 0 \leqq \sin^2(\alpha+\beta) \leqq 1 $$

すなわち、

$$ 0 \leqq x^2 + y^2 - 2x^2y^2 + 2xy\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2} \leqq 1 $$

が成り立つことが示された。

解法2

不等式の中辺を $P$ とおく。$P$ の最初の3項は次のように変形できる。

$$ \begin{aligned} x^2 + y^2 - 2x^2y^2 &= x^2 - x^2y^2 + y^2 - x^2y^2 \\ &= x^2(1-y^2) + y^2(1-x^2) \end{aligned} $$

これを $P$ に代入して整理すると、

$$ \begin{aligned} P &= x^2(1-y^2) + y^2(1-x^2) + 2xy\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2} \\ &= \left(x\sqrt{1-y^2}\right)^2 + \left(y\sqrt{1-x^2}\right)^2 + 2\left(x\sqrt{1-y^2}\right)\left(y\sqrt{1-x^2}\right) \\ &= \left(x\sqrt{1-y^2} + y\sqrt{1-x^2}\right)^2 \end{aligned} $$

$x, y$ は実数であり、条件より根号の中身も $0$ 以上であるため、$x\sqrt{1-y^2} + y\sqrt{1-x^2}$ は実数値をとる。実数の2乗は $0$ 以上であるから、

$$ P \geqq 0 $$

が成り立つ。

次に、$P \leqq 1$ を示すためにコーシー・シュワルツの不等式を用いる。一般に、実数 $a, b, c, d$ について $(ac+bd)^2 \leqq (a^2+b^2)(c^2+d^2)$ が成り立つ。ここで、$a = x, b = \sqrt{1-x^2}, c = \sqrt{1-y^2}, d = y$ とおくと、

$$ \left(x\sqrt{1-y^2} + \sqrt{1-x^2}y\right)^2 \leqq \left\{x^2 + \left(\sqrt{1-x^2}\right)^2\right\}\left\{\left(\sqrt{1-y^2}\right)^2 + y^2\right\} $$

右辺を計算すると、

$$ (x^2 + 1 - x^2)(1 - y^2 + y^2) = 1 \cdot 1 = 1 $$

したがって、

$$ \left(x\sqrt{1-y^2} + y\sqrt{1-x^2}\right)^2 \leqq 1 $$

となり、

$$ P \leqq 1 $$

が示された。以上より、$0 \leqq P \leqq 1$ が成り立つ。