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大阪大学 1986年理系第3問解説

方針・初手

和積の公式を用いて2変数の和の最大値を求め、それを帰納的に拡張して多変数の最大値を求める問題である。(1)と(2)の誘導に乗り、変数を減らしながら段階的に最大値を考える。最終的には1変数の微分を用いて全体の最大値を求める。

解法1

(1)

和積の公式より、

$$ \sin\theta_1 + \sin\theta_2 = 2 \sin\frac{\theta_1 + \theta_2}{2} \cos\frac{\theta_1 - \theta_2}{2} $$

$\theta_1 + \theta_2 = \alpha$ であるから、

$$ \sin\theta_1 + \sin\theta_2 = 2 \sin\frac{\alpha}{2} \cos\frac{\theta_1 - \theta_2}{2} $$

$\alpha$ は $0 < \alpha < 2\pi$ を満たす定数であるから、$0 < \frac{\alpha}{2} < \pi$ であり $2 \sin\frac{\alpha}{2} > 0$ である。したがって、与式は $\cos\frac{\theta_1 - \theta_2}{2}$ が最大のときに最大となる。

$\theta_1 > 0, \theta_2 > 0$ と $\theta_1 + \theta_2 = \alpha$ より、$0 < \theta_1 < \alpha, 0 < \theta_2 < \alpha$ であり、$-\alpha < \theta_1 - \theta_2 < \alpha$ すなわち $-\frac{\alpha}{2} < \frac{\theta_1 - \theta_2}{2} < \frac{\alpha}{2}$ である。この範囲において $\cos\frac{\theta_1 - \theta_2}{2}$ は $\frac{\theta_1 - \theta_2}{2} = 0$ すなわち $\theta_1 = \theta_2$ のとき最大値 $1$ をとる。

$\theta_1 + \theta_2 = \alpha$ であるから、$\theta_1 = \theta_2 = \frac{\alpha}{2}$ のとき最大となり、最大値は $2 \sin\frac{\alpha}{2}$ である。

(2)

(1)の考え方を拡張する。$\theta_1 + \theta_2 = x$、$\theta_3 + \theta_4 = y$ とおくと、$x > 0, y > 0$ であり、$x + y = \beta$ である。固定された $x, y$ に対して、(1)と同様に考えると以下の不等式が成り立つ。

$$ \sin\theta_1 + \sin\theta_2 \le 2 \sin\frac{x}{2} $$

$$ \sin\theta_3 + \sin\theta_4 \le 2 \sin\frac{y}{2} $$

（等号はそれぞれ $\theta_1 = \theta_2 = \frac{x}{2}$、$\theta_3 = \theta_4 = \frac{y}{2}$ のとき成立する）

両辺を足し合わせると、

$$ \sin\theta_1 + \sin\theta_2 + \sin\theta_3 + \sin\theta_4 \le 2\left( \sin\frac{x}{2} + \sin\frac{y}{2} \right) $$

ここで、右辺に再び和積の公式を用いると、

$$ 2\left( \sin\frac{x}{2} + \sin\frac{y}{2} \right) = 4 \sin\frac{x + y}{4} \cos\frac{x - y}{4} = 4 \sin\frac{\beta}{4} \cos\frac{x - y}{4} $$

$0 < \beta < 2\pi$ より $0 < \frac{\beta}{4} < \frac{\pi}{2}$ なので $\sin\frac{\beta}{4} > 0$ である。よって、これが最大になるのは $\cos\frac{x - y}{4} = 1$ すなわち $x = y$ のときである。 $x + y = \beta$ より $x = y = \frac{\beta}{2}$ のときであり、このとき最大値は $4 \sin\frac{\beta}{4}$ となる。

問題の条件 $\theta_1 + \theta_2 + \theta_3 + \theta_4 + \theta_5 = 2\pi$ より、$\beta = 2\pi - \theta_5$ である。これを代入すると、

$$ 4 \sin\frac{2\pi - \theta_5}{4} = 4 \sin\left( \frac{\pi}{2} - \frac{\theta_5}{4} \right) = 4 \cos\frac{\theta_5}{4} $$

(3)

(2)の結果より、$\theta_5$ を固定したとき、$\sin\theta_1 + \sin\theta_2 + \sin\theta_3 + \sin\theta_4 + \sin\theta_5$ の最大値は $4 \cos\frac{\theta_5}{4} + \sin\theta_5$ である。これを $f(\theta_5)$ とおき、$0 < \theta_5 < 2\pi$ の範囲における $f(\theta_5)$ の最大値を求める。

$$ f'(\theta_5) = -4 \cdot \frac{1}{4} \sin\frac{\theta_5}{4} + \cos\theta_5 = -\sin\frac{\theta_5}{4} + \cos\theta_5 $$

$f'(\theta_5) = 0$ とすると、

$$ \cos\theta_5 = \sin\frac{\theta_5}{4} $$

余角の公式を用いて右辺を変形すると、

$$ \cos\theta_5 = \cos\left( \frac{\pi}{2} - \frac{\theta_5}{4} \right) $$

$0 < \theta_5 < 2\pi$ のとき、$0 < \frac{\pi}{2} - \frac{\theta_5}{4} < \frac{\pi}{2}$ である。角度を比較すると、範囲内で等式を満たすのは $\theta_5 = \pm\left( \frac{\pi}{2} - \frac{\theta_5}{4} \right) + 2n\pi$ （$n$ は整数）の場合である。

(i)

$\theta_5 = \frac{\pi}{2} - \frac{\theta_5}{4} + 2n\pi$ のとき $\frac{5}{4}\theta_5 = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$ より $\theta_5 = \frac{2\pi}{5} + \frac{8n\pi}{5}$。 $0 < \theta_5 < 2\pi$ を満たすのは $n=0$ のときであり、$\theta_5 = \frac{2\pi}{5}$。

(ii)

$\theta_5 = -\left( \frac{\pi}{2} - \frac{\theta_5}{4} \right) + 2n\pi$ のとき $\frac{3}{4}\theta_5 = -\frac{\pi}{2} + 2n\pi$ より $\theta_5 = -\frac{2\pi}{3} + \frac{8n\pi}{3}$。 $n=1$ のとき $\theta_5 = 2\pi$ となり、条件 $0 < \theta_5 < 2\pi$ を満たす $n$ は存在しない。

よって、$f'(\theta_5) = 0$ となるのは $\theta_5 = \frac{2\pi}{5}$ のみである。 $\theta_5 = \frac{2\pi}{5}$ の前後で $f'(\theta_5)$ の符号は正から負に変化するため、$f(\theta_5)$ は $\theta_5 = \frac{2\pi}{5}$ で極大かつ最大となる。

このときの最大値は、

$$ f\left(\frac{2\pi}{5}\right) = 4 \cos\frac{\pi}{10} + \sin\frac{2\pi}{5} $$

ここで、$\cos\frac{\pi}{10} = \cos\left( \frac{\pi}{2} - \frac{2\pi}{5} \right) = \sin\frac{2\pi}{5}$ であるから、

$$ f\left(\frac{2\pi}{5}\right) = 4 \sin\frac{2\pi}{5} + \sin\frac{2\pi}{5} = 5 \sin\frac{2\pi}{5} $$

（等号成立条件は、(2)の等号成立条件と合わせて $\theta_1 = \theta_2 = \theta_3 = \theta_4 = \theta_5 = \frac{2\pi}{5}$ のときであり、これは和が $2\pi$ を満たす。）

解説

和積の公式を利用して、多変数の関数の最大値を部分的な2変数の組に分けて帰着させるのがポイントである。上に凸な関数の性質（Jensenの不等式）を用いると「すべての変数が等しいときに最大値をとる」ことを証明することも可能であるが、本問は誘導が丁寧についているため、素直に和積の公式を用いて変数を減らすアプローチをとるのがよいでしょう。(3)の微分計算では、$\sin$ と $\cos$ の混ざった方程式を余角の公式を用いて $\cos$ に統一して解くことで、スムーズに極値をもつ角度を特定できる。