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大阪大学 2021年文系第1問解説

方針・初手

（1）については、接点の $x$ 座標を文字で置き、接線の方程式を立てる。それが点 $A$ を通るという条件から、接点の $x$ 座標に関する2次方程式を導き、その判別式を調べることで接線の本数を議論する。

（2）については、（1）で導いた2次方程式の解が2つの接点の $x$ 座標であることに着目する。各接点における接線が点 $A$ を通るという関係式から、2つの接点が共通の直線上にあることを導く（極線の考え方）。

（3）については、点と直線の距離の公式を用いて距離 $L$ を $a$ の式で表し、関数の最小値を求める。微分を用いて増減を調べる方法と、式変形から相加平均・相乗平均の関係を利用する方法がある。

解法1

(1)

放物線 $C: y = x^2$ について、$y' = 2x$ である。

$C$ 上の点 $(t, t^2)$ における接線の方程式は、

$$ y - t^2 = 2t(x - t) $$

すなわち

$$ y = 2tx - t^2 $$

と表せる。この接線が点 $A(a, -1)$ を通る条件は、

$$ -1 = 2ta - t^2 $$

整理して、

$$ t^2 - 2at - 1 = 0 \quad \cdots (*) $$

方程式 $(*)$ は $t$ についての2次方程式である。その判別式を $D$ とすると、

$$ \frac{D}{4} = (-a)^2 - 1 \cdot (-1) = a^2 + 1 $$

$a$ は実数であるから $a^2 \ge 0$ であり、$a^2 + 1 > 0$ となるため、判別式 $D > 0$ である。

したがって、2次方程式 $(*)$ は異なる2つの実数解をもつ。接点の $x$ 座標 $t$ が1つ定まると接線が1本定まるため、点 $A(a, -1)$ を通る $C$ の接線はちょうど2本存在することが示された。

(2)

（1）の2次方程式 $(*)$ の異なる2つの実数解を $\alpha, \beta$ とすると、接点 $P, Q$ の座標はそれぞれ $(\alpha, \alpha^2), (\beta, \beta^2)$ と表せる。

$\alpha, \beta$ はそれぞれ $(*)$ の解であるから、

$$ \alpha^2 - 2a\alpha - 1 = 0 \iff \alpha^2 = 2a\alpha + 1 $$

$$ \beta^2 - 2a\beta - 1 = 0 \iff \beta^2 = 2a\beta + 1 $$

が成り立つ。

この2つの等式は、2点 $(\alpha, \alpha^2), (\beta, \beta^2)$ すなわち点 $P, Q$ がともに直線 $y = 2ax + 1$ 上にあることを示している。

2点を通る直線は一意に定まるため、直線 $PQ$ の方程式は $y = 2ax + 1$ である。

(3)

点 $A(a, -1)$ と直線 $PQ: 2ax - y + 1 = 0$ の距離 $L$ は、点と直線の距離の公式より、

$$ L = \frac{|2a \cdot a - (-1) + 1|}{\sqrt{(2a)^2 + (-1)^2}} = \frac{|2a^2 + 2|}{\sqrt{4a^2 + 1}} $$

$a$ は実数であり $2a^2 + 2 > 0$ であるから、絶対値記号をそのまま外すことができ、

$$ L = \frac{2a^2 + 2}{\sqrt{4a^2 + 1}} $$

$L$ を $a$ で微分すると、

$$ \begin{aligned} L' &= \frac{4a\sqrt{4a^2 + 1} - (2a^2 + 2) \cdot \frac{1}{2\sqrt{4a^2 + 1}} \cdot 8a}{4a^2 + 1} \\ &= \frac{4a(4a^2 + 1) - 4a(2a^2 + 2)}{(4a^2 + 1)\sqrt{4a^2 + 1}} \\ &= \frac{16a^3 + 4a - 8a^3 - 8a}{(4a^2 + 1)^{\frac{3}{2}}} \\ &= \frac{8a^3 - 4a}{(4a^2 + 1)^{\frac{3}{2}}} \\ &= \frac{4a(2a^2 - 1)}{(4a^2 + 1)^{\frac{3}{2}}} \end{aligned} $$

$L' = 0$ となるのは、$4a(2a^2 - 1) = 0$ より $a = 0, \pm\frac{1}{\sqrt{2}}$ のときである。

$L$ の増減表は以下のようになる。

$a$	$\cdots$	$-\frac{1}{\sqrt{2}}$	$\cdots$	$0$	$\cdots$	$\frac{1}{\sqrt{2}}$	$\cdots$
$L'$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$L$	$\searrow$	極小	$\nearrow$	極大	$\searrow$	極小	$\nearrow$

増減表より、$L$ は $a = \pm\frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき最小となる。

その最小値は、

$$ L\left(\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{2 \cdot \frac{1}{2} + 2}{\sqrt{4 \cdot \frac{1}{2} + 1}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} $$

解法2

(3)の別解（相加平均と相乗平均の関係の利用）

距離 $L$ が

$$ L = \frac{2a^2 + 2}{\sqrt{4a^2 + 1}} $$

となることまでは解法1と同じである。

ここで、$4a^2 + 1 = s$ とおく。$a^2 \ge 0$ より $s \ge 1$ であり、$a^2 = \frac{s - 1}{4}$ である。

これを用いて $L$ を $s$ で表すと、

$$ \begin{aligned} L &= \frac{2 \cdot \frac{s - 1}{4} + 2}{\sqrt{s}} \\ &= \frac{\frac{s - 1 + 4}{2}}{\sqrt{s}} \\ &= \frac{s + 3}{2\sqrt{s}} \\ &= \frac{1}{2} \left( \sqrt{s} + \frac{3}{\sqrt{s}} \right) \end{aligned} $$

$s \ge 1 > 0$ より $\sqrt{s} > 0, \frac{3}{\sqrt{s}} > 0$ であるから、相加平均と相乗平均の大小関係より、

$$ \sqrt{s} + \frac{3}{\sqrt{s}} \ge 2\sqrt{\sqrt{s} \cdot \frac{3}{\sqrt{s}}} = 2\sqrt{3} $$

等号が成立するのは $\sqrt{s} = \frac{3}{\sqrt{s}}$ すなわち $s = 3$ のときである。

$s = 3$ は $s \ge 1$ を満たしており、このとき $4a^2 + 1 = 3$ より $a^2 = \frac{1}{2}$ であるから、$a = \pm\frac{1}{\sqrt{2}}$ となる。

したがって、最小値は

$$ L = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} = \sqrt{3} $$