大阪大学 1965年 理系 第4問 解説

方針・初手

方程式 $f(x) = x^3 - 3x + a = 0$ とおき、$f(x)$ の増減を調べて実数解 $\alpha, \beta, \gamma$ のおおよその範囲を絞り込むことが第一歩である。

(1) は解と係数の関係を利用して各解の符号や関係式を導くと見通しが良い。

(2) は各解が満たす方程式を変形し、$a$ と各解の絶対値との差をとることで符号を調べ、大小を比較する。

解法1

$f(x) = x^3 - 3x + a$ とおく。微分すると

$$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x+1)(x-1)$$

$f'(x) = 0$ となるのは $x = \pm 1$ である。 $f(x)$ の増減を調べると、$x \le -1$ で単調増加、$-1 \le x \le 1$ で単調減少、$x \ge 1$ で単調増加する。 極大値は $f(-1) = a+2$、極小値は $f(1) = a-2$ である。 $f(x) = 0$ が相異なる3実根をもつため、（極大値）$\times$（極小値）$< 0$ が成り立つ。

$$(a+2)(a-2) < 0$$

これを解くと $-2 < a < 2$ を得る。問題の条件より $a > 0$ なので、

$$0 < a < 2$$

である。このとき、

$$f(-2) = -8 + 6 + a = a-2 < 0$$ $$f(-1) = a+2 > 0$$ $$f(0) = a > 0$$ $$f(1) = a-2 < 0$$ $$f(2) = 8 - 6 + a = a+2 > 0$$

となるから、3つの実根 $\alpha < \beta < \gamma$ はそれぞれ次の範囲に存在する。

$$-2 < \alpha < -1$$ $$0 < \beta < 1$$ $$1 < \gamma < 2$$

したがって、$\alpha < 0, \beta > 0, \gamma > 0$ であるため、それぞれの絶対値は以下のようになる。

$$|\alpha| = -\alpha, \quad |\beta| = \beta, \quad |\gamma| = \gamma$$

(1)

まず、上の範囲より $0 < \beta < 1 < \gamma$ であるから、

$$|\beta| < |\gamma|$$

が成り立つ。次に、3次方程式の解と係数の関係より $\alpha + \beta + \gamma = 0$ であるから、

$$-\alpha = \beta + \gamma$$

すなわち

$$|\alpha| = |\beta| + |\gamma|$$

となる。$|\beta| > 0$ であるから、

$$|\alpha| > |\gamma|$$

が成り立つ。以上より、以下の大小関係を得る。

$$|\beta| < |\gamma| < |\alpha|$$

(2)

$\alpha, \beta, \gamma$ は $f(x) = 0$ の解であるから、任意の解を $t$ とすると $t^3 - 3t + a = 0$ より

$$a = t(3 - t^2)$$

が成り立つ。これを用いて $a$ と $|\alpha|, |\beta|, |\gamma|$ の大小をそれぞれ比較する。

(i) $a$ と $|\alpha|$ の大小

$t = \alpha$ のとき、$a = \alpha(3 - \alpha^2) = -|\alpha|(3 - |\alpha|^2) = |\alpha|(|\alpha|^2 - 3)$ となる。差をとると、

$$a - |\alpha| = |\alpha|(|\alpha|^2 - 3) - |\alpha| = |\alpha|(|\alpha|^2 - 4)$$

$-2 < \alpha < -1$ より $1 < |\alpha| < 2$ であるから $|\alpha|^2 - 4 < 0$。 また $|\alpha| > 0$ より $a - |\alpha| < 0$、すなわち $a < |\alpha|$ である。

(ii) $a$ と $|\beta|$ の大小

$t = \beta$ のとき、$a = \beta(3 - \beta^2) = |\beta|(3 - |\beta|^2)$ となる。差をとると、

$$a - |\beta| = |\beta|(3 - |\beta|^2) - |\beta| = |\beta|(2 - |\beta|^2)$$

$0 < \beta < 1$ より $0 < |\beta| < 1$ であるから $2 - |\beta|^2 > 1 > 0$。 また $|\beta| > 0$ より $a - |\beta| > 0$、すなわち $a > |\beta|$ である。

(iii) $a$ と $|\gamma|$ の大小

$t = \gamma$ のとき、$a = \gamma(3 - \gamma^2) = |\gamma|(3 - |\gamma|^2)$ となる。差をとると、

$$a - |\gamma| = |\gamma|(3 - |\gamma|^2) - |\gamma| = |\gamma|(2 - |\gamma|^2)$$

$1 < |\gamma| < 2$ であるため、$|\gamma|$ と $\sqrt{2}$ の大小によって右辺の符号が変化する。 ここで、$f(\sqrt{2}) = (\sqrt{2})^3 - 3\sqrt{2} + a = a - \sqrt{2}$ である。 $f(x)$ は $x \ge 1$ の範囲で単調増加であり、$f(\gamma) = 0$ であることを用いて場合分けをする。

・ $0 < a < \sqrt{2}$ のとき

$f(\sqrt{2}) = a - \sqrt{2} < 0 = f(\gamma)$ となるから、単調増加性より $\sqrt{2} < \gamma = |\gamma|$。 このとき、$2 - |\gamma|^2 < 0$ となるため $a - |\gamma| < 0$、すなわち $a < |\gamma|$。 （※ $a < \sqrt{2} < |\gamma|$ から直接 $a < |\gamma|$ を導いてもよい。）

・ $a = \sqrt{2}$ のとき

$f(\sqrt{2}) = 0 = f(\gamma)$ となるから、$|\gamma| = \sqrt{2} = a$。 すなわち $a = |\gamma|$。

・ $\sqrt{2} < a < 2$ のとき

$f(\sqrt{2}) = a - \sqrt{2} > 0 = f(\gamma)$ となるから、単調増加性より $|\gamma| = \gamma < \sqrt{2}$。 このとき、$2 - |\gamma|^2 > 0$ となるため $a - |\gamma| > 0$、すなわち $a > |\gamma|$。 （※ $|\gamma| < \sqrt{2} < a$ から直接 $a > |\gamma|$ を導いてもよい。）

以上をまとめる。 (1) より $|\beta| < |\gamma| < |\alpha|$ であり、常に $a > |\beta|$ かつ $a < |\alpha|$ であるから、順序は以下のようになる。

$0 < a < \sqrt{2}$ のとき、 $|\beta| < a < |\gamma| < |\alpha|$

$a = \sqrt{2}$ のとき、 $|\beta| < a = |\gamma| < |\alpha|$

$\sqrt{2} < a < 2$ のとき、 $|\beta| < |\gamma| < a < |\alpha|$

解法2

グラフを利用した視覚的なアプローチで考える別解を示す。

$x^3 - 3x + a = 0$ より $x^3 - 3x = -a$。 $g(x) = x^3 - 3x$ とおくと、$g'(x) = 3(x+1)(x-1)$ であり、極大値 $g(-1) = 2$、極小値 $g(1) = -2$ をとる。 $g(x)$ は奇関数であり、グラフは原点対称である。 $y = g(x)$ と直線 $y = -a$ の交点の $x$ 座標が $\alpha, \beta, \gamma$ である。 相異なる3実根をもつことから $-2 < -a < 2$ であり、$a > 0$ より $0 < a < 2$ となる。 したがって直線 $y = -a$ は $-2 < y < 0$ の範囲にある。

グラフから交点の位置を読み取ると、 $\alpha < -1$、$0 < \beta < 1$、$1 < \gamma < 2$ となる。 これより $|\alpha| = -\alpha, \quad |\beta| = \beta, \quad |\gamma| = \gamma$ である。

(1)

$0 < \beta < 1 < \gamma$ より $|\beta| < |\gamma|$ は明らかである。 また、$g(x)$ の奇関数性より $g(-\gamma) = -g(\gamma) = -(-a) = a$ である。 $a > 0 > -a$ なので $g(-\gamma) > g(\alpha) = -a$ である。 $x \le -1$ において $g(x)$ は単調増加であるから、$\alpha < -\gamma$ が成り立つ。 両辺に $-1$ をかけると $-\alpha > \gamma$、すなわち $|\alpha| > |\gamma|$。 よって、$|\beta| < |\gamma| < |\alpha|$ である。

(2)

$y = g(x)$ のグラフと、原点を通る直線 $y = x$ および $y = -x$ との交点を考える。 $g(x) = x \iff x(x^2 - 4) = 0$ より交点は $x = 0, \pm 2$。 $g(x) = -x \iff x(x^2 - 2) = 0$ より交点は $x = 0, \pm\sqrt{2}$。

$a$ と $|\beta| = \beta$ について： $0 < x < \sqrt{2}$ の範囲では $x^3 - 2x < 0$ ゆえ $g(x) < -x$ となる。 交点 $( \beta, -a )$ は $0 < \beta < 1 < \sqrt{2}$ の範囲にあるので、 $g(\beta) < -\beta \implies -a < -\beta \implies a > \beta = |\beta|$。 よって $a > |\beta|$。

$a$ と $|\alpha| = -\alpha$ について： $-2 < x < 0$ の範囲では $x^3 - 4x > 0$ ゆえ $g(x) > x$ である。 交点 $(\alpha, -a)$ は $-2 < \alpha < -1$ の範囲にあるため、 $g(\alpha) > \alpha \implies -a > \alpha \implies a < -\alpha = |\alpha|$。 よって $a < |\alpha|$。

$a$ と $|\gamma| = \gamma$ について： 交点 $(\gamma, -a)$ は $x > 1$ の範囲にあり、$g(x)$ はこの範囲で単調増加である。

(i) $0 < a < \sqrt{2}$ のとき

直線 $y = -a$ は $y = -\sqrt{2}$ より上にある。$g(\sqrt{2}) = -\sqrt{2}$ であるから、交点 $\gamma$ は $\sqrt{2} < \gamma$ を満たす。 $x > \sqrt{2}$ では $g(x) > -x$ なので、 $g(\gamma) > -\gamma \implies -a > -\gamma \implies a < \gamma = |\gamma|$。

(ii) $a = \sqrt{2}$ のとき

$-a = -\sqrt{2}$ より $\gamma = \sqrt{2}$。 よって $a = |\gamma|$。

(iii) $\sqrt{2} < a < 2$ のとき

直線 $y = -a$ は $y = -\sqrt{2}$ より下にある。$g(\sqrt{2}) = -\sqrt{2}$ であるから、交点 $\gamma$ は $1 < \gamma < \sqrt{2}$ を満たす。 $0 < x < \sqrt{2}$ では $g(x) < -x$ なので、 $g(\gamma) < -\gamma \implies -a < -\gamma \implies a > \gamma = |\gamma|$。

以上により、解法1と同じ結論を得る。

解説

方程式の解の配置と大小関係を問う良問である。 まず、3次関数の増減から実数解のおおよその範囲を特定することが大前提となる。

(1) は解と係数の関係 $\alpha+\beta+\gamma=0$ に気づくことで非常にすっきりと証明できる。 これを用いずとも、関数 $g(x) = x^3 - 3x$ のグラフの奇関数性（原点対称）を利用して $g(-\gamma)$ の値を評価する手法（解法2）も、図形的なイメージが伴うため強力である。

(2) では $a$ を解自身で表す $a = t(3-t^2)$ の式変形が有効である。差をとって符号を調べるという不等式証明の基本に立ち返ることで、解の存在範囲との結びつきが見えやすくなる。 また、$|\gamma|$ と $a$ の大小が常には一定でなく、$a$ の値（具体的には境界となる $\sqrt{2}$ との大小）によって逆転することに気づけるかが最大のポイントとなる。解法2のようにグラフと直線 $y = -x$ との上下関係に帰着させる考え方も、視覚的に見通しが良く優れた解法といえる。

答え

(1)

$$|\beta| < |\gamma| < |\alpha|$$

(2)

$0 < a < \sqrt{2}$ のとき、$|\beta| < a < |\gamma| < |\alpha|$

$a = \sqrt{2}$ のとき、$|\beta| < a = |\gamma| < |\alpha|$

$\sqrt{2} < a < 2$ のとき、$|\beta| < |\gamma| < a < |\alpha|$