大阪大学 1967年 理系 第3問 解説

方針・初手

与えられた複数の条件を1つずつ数式に落とし込み、係数 $a, b, c, q$ を減らしていく。

1. $y=f(x)$ と $y=g(x)$ のグラフが A$(0,1)$ を通る。
2. 点 A において共通の接線をもつ。
3. 2つのグラフがただ1点 A を共有する。
4. $f(x)$ が極値をもたない。 これらの条件から $p$ の満たすべき不等式を導く。**(2)は(1)**で得られた $p$ の条件に注意しながら、頂点の軌跡を求める定石通りに媒介変数 $p$ を消去する。

解法1

(1)

$y=f(x)$ と $y=g(x)$ のグラフはともに点 A$(0, 1)$ を通るから

$$ f(0) = 1 \implies c = 1 $$

$$ g(0) = 1 \implies q = 1 $$

また、それぞれの関数の導関数は

$$ f'(x) = 3x^2 + 2ax + b $$

$$ g'(x) = 2x + p $$

である。2つのグラフが点 A において共通の接線をもつための条件は、$x=0$ におけるそれぞれの微分係数が等しいことである。

$$ f'(0) = g'(0) \implies b = p $$

これらを代入すると、2つの関数は以下のように表される。

$$ f(x) = x^3 + ax^2 + px + 1 $$

$$ g(x) = x^2 + px + 1 $$

次に、2つのグラフがただ1点 A を共有する条件を考える。これは、方程式 $f(x) = g(x)$ すなわち $f(x) - g(x) = 0$ の実数解が $x=0$ のみとなることと同値である。

$$ f(x) - g(x) = x^3 + (a-1)x^2 = x^2(x + a - 1) $$

方程式 $x^2(x + a - 1) = 0$ が $x=0$ 以外の実数解をもたないための条件は

$$ -a + 1 = 0 \implies a = 1 $$

である。このとき、$f(x)$ は

$$ f(x) = x^3 + x^2 + px + 1 $$

と定まる。関数 $y=f(x)$ が極値をもたないための条件は、3次関数の導関数 $f'(x) = 0$ の実数解が1つ以下となる（重解をもつ、または実数解をもたない）ことである。

$$ f'(x) = 3x^2 + 2x + p $$

であるから、2次方程式 $3x^2 + 2x + p = 0$ の判別式を $D$ とすると、$D \le 0$ であればよい。

$$ \frac{D}{4} = 1^2 - 3p \le 0 $$

$$ p \ge \frac{1}{3} $$

これが $p$ のとりうる値の範囲である。

(2)

(1) の結果から、$g(x)$ は

$$ g(x) = x^2 + px + 1 $$

である。これを平方完成すると

$$ g(x) = \left(x + \frac{p}{2}\right)^2 + 1 - \frac{p^2}{4} $$

となる。放物線 $y=g(x)$ の頂点の座標を $(X, Y)$ とおくと

$$ \begin{cases} X = -\frac{p}{2} \\ Y = 1 - \frac{p^2}{4} \end{cases} $$

である。上の式から $p = -2X$ を得て、これを下の式に代入して $p$ を消去する。

$$ Y = 1 - \frac{(-2X)^2}{4} = 1 - X^2 $$

また、(1) で求めた条件 $p \ge \frac{1}{3}$ に $p = -2X$ を代入する。

$$ -2X \ge \frac{1}{3} \implies X \le -\frac{1}{6} $$

したがって、頂点 $(X, Y)$ のえがく図形は放物線 $y = -x^2 + 1$ の $x \le -\frac{1}{6}$ の部分である。

解説

複数の条件式を順序よく処理していく典型問題である。

「ただ1点を共有する」という条件を扱う際、$x=0$ において共通接線をもつことから、$f(x)-g(x)=0$ という方程式が $x=0$ を重解にもつ（$x^2$ で割り切れる）ことは自然に見抜けるようにしたい。そこから $x=0$ 以外の解をもたない条件へ繋げる流れは必須の手法である。

また、軌跡を求める問題では、パラメータ $p$ を消去するだけでなく、パラメータに制限がある場合は図形（座標）の変域にも制限がつくことに注意が必要である。

答え

(1)

$$ p \ge \frac{1}{3} $$

(2)

放物線 $y = -x^2 + 1$ の $x \le -\frac{1}{6}$ の部分