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大阪大学 1967年理系第6問解説

方針・初手

被積分関数に絶対値が含まれているため、まずは絶対値を外すために積分区間を $\sin \pi x$ の符号が一定となる区間に分割する。本問では区間の幅を $1$ ごとに区切って定積分を計算し、それらの和として $S(n)$ を求める方針をとる。

解法1

(1)

積分区間 $[0, n]$ を $k-1 \le x \le k$ ($k = 1, 2, \cdots, n$) の $n$ 個の区間に分割する。第 $k$ 区間における定積分を $I_k$ とおくと、

$$ I_k = \int_{k-1}^k |e^{ax} \sin \pi x| dx $$

ここで、$x = t + k - 1$ とおくと、$dx = dt$ であり、積分区間は $0 \le t \le 1$ となる。また、$e^{ax} > 0$ であり、$k$ は整数であるから、

$$ \begin{aligned} |e^{ax} \sin \pi x| &= e^{a(t+k-1)} |\sin \pi(t+k-1)| \\ &= e^{a(k-1)} e^{at} |\sin(\pi t + (k-1)\pi)| \\ &= e^{a(k-1)} e^{at} |\sin \pi t| \end{aligned} $$

$0 \le t \le 1$ において $\sin \pi t \ge 0$ であるから、$|\sin \pi t| = \sin \pi t$ となる。したがって、

$$ \begin{aligned} I_k &= \int_0^1 e^{a(k-1)} e^{at} \sin \pi t dt \\ &= e^{a(k-1)} \int_0^1 e^{at} \sin \pi t dt \end{aligned} $$

ここで、$J = \int_0^1 e^{at} \sin \pi t dt$ とおくと、$J$ は $k$ に無関係な定数である。 $S(n)$ はこれらの和として表される。

$$ S(n) = \sum_{k=1}^n I_k = J \sum_{k=1}^n e^{a(k-1)} $$

[1] $a \neq 0$ のとき

部分積分法を用いて $J$ を計算する。

$$ \begin{aligned} J &= \int_0^1 e^{at} \sin \pi t dt \\ &= \left[ \frac{1}{a} e^{at} \sin \pi t \right]_0^1 - \int_0^1 \frac{1}{a} e^{at} \cdot \pi \cos \pi t dt \\ &= -\frac{\pi}{a} \int_0^1 e^{at} \cos \pi t dt \\ &= -\frac{\pi}{a} \left( \left[ \frac{1}{a} e^{at} \cos \pi t \right]_0^1 - \int_0^1 \frac{1}{a} e^{at} \cdot (-\pi \sin \pi t) dt \right) \\ &= -\frac{\pi}{a} \left( \frac{e^a \cos \pi - \cos 0}{a} + \frac{\pi}{a} \int_0^1 e^{at} \sin \pi t dt \right) \\ &= \frac{\pi(e^a + 1)}{a^2} - \frac{\pi^2}{a^2} J \end{aligned} $$

これより、

$$ \left( 1 + \frac{\pi^2}{a^2} \right) J = \frac{\pi(e^a + 1)}{a^2} $$

両辺に $a^2$ を掛けて整理すると、

$$ (a^2 + \pi^2) J = \pi(e^a + 1) $$

よって、

$$ J = \frac{\pi(e^a + 1)}{a^2 + \pi^2} $$

数列 $\{e^{a(k-1)}\}$ は初項 $1$、公比 $e^a$ の等比数列であり、$a \neq 0$ より $e^a \neq 1$ であるから、

$$ \sum_{k=1}^n e^{a(k-1)} = \frac{1 - e^{an}}{1 - e^a} $$

したがって、

$$ S(n) = \frac{\pi(e^a + 1)}{a^2 + \pi^2} \cdot \frac{1 - e^{an}}{1 - e^a} $$

[2] $a = 0$ のとき

$$ J = \int_0^1 \sin \pi t dt = \left[ -\frac{1}{\pi} \cos \pi t \right]_0^1 = \frac{2}{\pi} $$

このとき、$e^a = 1$ より $\sum_{k=1}^n 1 = n$ となるため、

$$ S(n) = \frac{2}{\pi} n $$

(2)

(1) の結果より、$n \to \infty$ としたときの $S(n)$ の極限を考える。

[1] $a > 0$ のとき

$e^a > 1$ であるから、$\lim_{n \to \infty} e^{an} = \infty$ となる。したがって、$S(n)$ は発散する。

[2] $a = 0$ のとき

$S(n) = \frac{2}{\pi} n$ であるから、$\lim_{n \to \infty} S(n) = \infty$ となり、発散する。

[3] $a < 0$ のとき

$0 < e^a < 1$ であるから、$\lim_{n \to \infty} e^{an} = 0$ となる。したがって、$S(n)$ は極限値をもち、収束する。その極限値は、

$$ \begin{aligned} \lim_{n \to \infty} S(n) &= \lim_{n \to \infty} \frac{\pi(e^a + 1)}{a^2 + \pi^2} \cdot \frac{1 - e^{an}}{1 - e^a} \\ &= \frac{\pi(e^a + 1)}{a^2 + \pi^2} \cdot \frac{1 - 0}{1 - e^a} \\ &= \frac{\pi(1 + e^a)}{(a^2 + \pi^2)(1 - e^a)} \end{aligned} $$

以上より、数列 $S(n)$ が収束するような $a$ の範囲は $a < 0$ である。

解説

絶対値を含む定積分は、「絶対値の中身の符号が変わる境界」で積分区間を分割するのが基本である。本問では $\sin \pi x$ の周期性に着目し、区間の幅を $1$ ごとに区切ることで各区間の積分を同じ形に帰着できる。

これにより、定積分が等比数列の和として表されることに気づくことがポイントとなる。等比数列の和の公式を用いる際や、その後の極限を考える際には、公比である $e^a$ が $1$ となるかどうか（つまり $a=0$ かどうか）や、$1$ より大きいか小さいか（$a>0$ か $a<0$ か）といった場合分けを忘れないように注意したい。また、$e^{ax}\sin bx$ の積分は、部分積分を2回繰り返す典型的な計算手法である。