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大阪大学 1971年理系第7問解説

方針・初手

(1) 曲線上の接点が与えられているため、接線の方程式を立て、それが点 $P(a,b)$ を通る条件式を導く。その式を接点の $x$ 座標についての2次方程式とみなす。 (2) (1)で導いた2次方程式が、定義域である $x>0$ の範囲に異なる2つの実数解をもつような $(a,b)$ の条件を、解と係数の関係や判別式を用いて求める。 (3) (1)の2次方程式の解と係数の関係を用いて交点の $x$ 座標 $a$ を $\alpha, \beta$ で表し、定積分を用いて面積を計算し、$\frac{\beta}{\alpha}$ で表せることを示す。

解法1

(1)

関数 $y = x + \frac{1}{x}$ について、導関数は

$$ y' = 1 - \frac{1}{x^2} $$

である。曲線 $C$ 上の点 $\left(t, t + \frac{1}{t}\right)$ （ただし $t > 0$）における接線の方程式は、

$$ y - \left(t + \frac{1}{t}\right) = \left(1 - \frac{1}{t^2}\right)(x - t) $$

$$ y = \left(1 - \frac{1}{t^2}\right)x + \frac{2}{t} $$

この接線が点 $P(a, b)$ を通るので、

$$ b = \left(1 - \frac{1}{t^2}\right)a + \frac{2}{t} $$

両辺に $t^2$ を掛けて整理すると、

$$ (b - a)t^2 - 2t + a = 0 $$

となる。 $\alpha < \beta$ より点 $A, B$ における接線は異なるため、交点 $P$ を通る接線は2本存在する。すなわち、上記の $t$ についての方程式は $t = \alpha, \beta$ を異なる2つの実数解としてもつ。これが2次方程式となるためには $b - a \neq 0$ である必要があるが、もし $b = a$ であれば $-2t + a = 0$ となり解が1つ（$t = a/2$）に定まってしまい、$\alpha, \beta$ の2解をもつことに矛盾する。したがって $b \neq a$ であり、求める2次方程式は $t$ を変数として、

$$ (b - a)t^2 - 2t + a = 0 $$

と表される（変数に $x$ などを利用して $(b - a)x^2 - 2x + a = 0$ としてもよい）。

(2)

1点 $(a, b)$ から曲線 $C$ に2本の異なる接線が引けるための条件は、(1)で求めた $t$ についての2次方程式

$$ (b - a)t^2 - 2t + a = 0 $$

が、$t > 0$ の範囲に異なる2つの実数解をもつことである。この2解を $\alpha, \beta$ とすると、判別式を $D$ として以下の3条件が同時に成り立つことと同値である。 (i)

$D > 0$ (ii)

$\alpha + \beta > 0$ (iii)

$\alpha\beta > 0$

解と係数の関係より、

$$ \alpha + \beta = \frac{2}{b - a} $$

$$ \alpha\beta = \frac{a}{b - a} $$

である。 (ii)

$\frac{2}{b - a} > 0$ より、$b - a > 0$ すなわち $b > a$。 (iii)

$\frac{a}{b - a} > 0$ と $b - a > 0$ より、$a > 0$。

（i）の判別式の条件について、$\frac{D}{4} = 1^2 - (b - a)a = 1 - ab + a^2 > 0$ より、

$$ ab < a^2 + 1 $$

$a > 0$ であるから、両辺を $a$ で割って、

$$ b < a + \frac{1}{a} $$

となる。以上より、点 $(a, b)$ の存在範囲は、

$$ a > 0 \text{ かつ } a < b < a + \frac{1}{a} $$

である。これを $xy$ 平面上の点 $(x, y)$ の範囲として表すと、

$$ x > 0 \text{ かつ } x < y < x + \frac{1}{x} $$

となる。この領域は、第1象限において、直線 $y = x$ の上側かつ曲線 $y = x + \frac{1}{x}$ の下側である。境界線（直線 $y = x$、曲線 $y = x + \frac{1}{x}$、および $y$ 軸）は含まない。

(3)

(2)より、接点の $x$ 座標 $\alpha, \beta$ の和と積は

$$ \alpha + \beta = \frac{2}{b - a} $$

$$ \alpha\beta = \frac{a}{b - a} $$

これらを $a, b$ について解く。第1式より $b - a = \frac{2}{\alpha + \beta}$。これを第2式に代入して、$a = \alpha\beta(b - a) = \frac{2\alpha\beta}{\alpha + \beta}$ である。

曲線 $C: y = x + \frac{1}{x}$ は $x > 0$ において $y'' = \frac{2}{x^3} > 0$ より下に凸であり、接線は常に曲線の接点以外の部分の下側に位置する。したがって、求める面積 $S$ は、

$$ S = \int_{\alpha}^{a} \left\{ \left(x + \frac{1}{x}\right) - \left( \left(1 - \frac{1}{\alpha^2}\right)x + \frac{2}{\alpha} \right) \right\} dx + \int_{a}^{\beta} \left\{ \left(x + \frac{1}{x}\right) - \left( \left(1 - \frac{1}{\beta^2}\right)x + \frac{2}{\beta} \right) \right\} dx $$

被積分関数を整理し、不定積分を計算すると、

$$ \int \left( \frac{1}{x} + \frac{x}{t^2} - \frac{2}{t} \right) dx = \log x + \frac{x^2}{2t^2} - \frac{2x}{t} $$

となるため、

$$ S = \left[ \log x + \frac{x^2}{2\alpha^2} - \frac{2x}{\alpha} \right]_{\alpha}^{a} + \left[ \log x + \frac{x^2}{2\beta^2} - \frac{2x}{\beta} \right]_{a}^{\beta} $$

$$ = \left( \log a + \frac{a^2}{2\alpha^2} - \frac{2a}{\alpha} \right) - \left( \log \alpha + \frac{1}{2} - 2 \right) + \left( \log \beta + \frac{1}{2} - 2 \right) - \left( \log a + \frac{a^2}{2\beta^2} - \frac{2a}{\beta} \right) $$

$$ = \log\frac{\beta}{\alpha} + \frac{a^2}{2}\left( \frac{1}{\alpha^2} - \frac{1}{\beta^2} \right) - 2a\left( \frac{1}{\alpha} - \frac{1}{\beta} \right) $$

ここで、あらかじめ求めておいた $a = \frac{2\alpha\beta}{\alpha + \beta}$ を用いると、

$$ a\left( \frac{1}{\alpha} - \frac{1}{\beta} \right) = \frac{2\alpha\beta}{\alpha + \beta} \cdot \frac{\beta - \alpha}{\alpha\beta} = \frac{2(\beta - \alpha)}{\alpha + \beta} $$

$$ a^2\left( \frac{1}{\alpha^2} - \frac{1}{\beta^2} \right) = \frac{4\alpha^2\beta^2}{(\alpha + \beta)^2} \cdot \frac{\beta^2 - \alpha^2}{\alpha^2\beta^2} = \frac{4(\beta - \alpha)}{\alpha + \beta} $$

であるから、これらを代入して

$$ S = \log\frac{\beta}{\alpha} + \frac{1}{2} \cdot \frac{4(\beta - \alpha)}{\alpha + \beta} - 2 \cdot \frac{2(\beta - \alpha)}{\alpha + \beta} $$

$$ S = \log\frac{\beta}{\alpha} - \frac{2(\beta - \alpha)}{\alpha + \beta} $$

分子分母を $\alpha$ で割ると、

$$ S = \log\frac{\beta}{\alpha} - \frac{2\left(\frac{\beta}{\alpha} - 1\right)}{\frac{\beta}{\alpha} + 1} $$

となる。これより、$\frac{\beta}{\alpha}$ が一定であれば、面積 $S$ はその値のみで決まるため一定であることが示された。

また、$\frac{\beta}{\alpha} = 3$ のとき、

$$ S = \log 3 - \frac{2(3 - 1)}{3 + 1} = \log 3 - 1 $$

となる。

解説

微分法と積分法を用いた図形量の計算という標準的な問題である。 (1)では「接点がわからないときは接点を文字でおく」という定石通りに進める。 (2)は(1)で導いた「接点の $x$ 座標」についての2次方程式が、指定の範囲に実数解をもつ条件（解の配置問題）に帰着させる。2次方程式の解と係数の関係を利用すると簡明に処理できる。 (3)における交点の $x$ 座標 $a$ の計算や、面積計算における被積分関数の定積分は、文字が多く煩雑になりやすい。それぞれの項を整理し、解と係数の関係から導いた式をうまく代入することで計算ミスを防ぐことができる。