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大阪大学 1974年理系第5問解説

方針・初手

曲線上の任意の点 $P$ の座標を $(t, f(t))$ とおき、点 $P$ における接線の方程式を求める。この接線と曲線 $y = \frac{1}{x}$ を連立し、交点 $Q, R$ の $x$ 座標についての $2$ 次方程式を導く。$P$ が線分 $QR$ の中点であるという条件を、解と係数の関係を用いて立式することで、$f(x)$ が満たすべき微分方程式が得られる。(2) は (1) で求めた $f(x)$ と接線の方程式を用いて、実際に囲まれる部分の面積を定積分で計算し、その結果が $t$ を含まない定数になることを示す。

解法1

(1)

曲線 $y = f(x)$ 上の点 $P(t, f(t))$ ($t > 0$) における接線の方程式は、

$$ y - f(t) = f'(t)(x - t) $$

すなわち、

$$ y = f'(t)x + f(t) - tf'(t) $$

である。この接線と曲線 $y = \frac{1}{x}$ ($x > 0$) が $2$ 点 $Q, R$ で交わるため、$f'(t) \neq 0$ であり、交点の $x$ 座標は方程式

$$ \frac{1}{x} = f'(t)x + f(t) - tf'(t) $$

の正の実数解である。両辺に $x$ をかけて整理すると、

$$ f'(t)x^2 + \{ f(t) - tf'(t) \} x - 1 = 0 $$

となる。これが $x > 0$ において異なる $2$ つの実数解 $\alpha, \beta$ ($\alpha < \beta$) をもつ。点 $Q, R$ の $x$ 座標がそれぞれ $\alpha, \beta$ であるから、解と係数の関係より、

$$ \alpha + \beta = - \frac{f(t) - tf'(t)}{f'(t)} = t - \frac{f(t)}{f'(t)} $$

が成り立つ。

条件より点 $P$ は線分 $QR$ の中点であるから、中点の $x$ 座標について、

$$ \frac{\alpha + \beta}{2} = t $$

が成り立つ。よって、

$$ t - \frac{f(t)}{f'(t)} = 2t $$

これを整理すると、

$$ f(t) = -tf'(t) $$

となる。これが任意の $t > 0$ に対して成り立つから、$x > 0$ において次の恒等式（微分方程式）を得る。

$$ xf'(x) + f(x) = 0 $$

左辺は積の微分公式より $(xf(x))'$ と変形できるため、

$$ (xf(x))' = 0 $$

よって、$C$ を定数として、

$$ xf(x) = C $$

すなわち、

$$ f(x) = \frac{C}{x} $$

となる。

ここで、接線が $y = \frac{1}{x}$ ($x > 0$) と異なる $2$ 点で交わるための $C$ の条件を求める。 $f'(x) = -\frac{C}{x^2}$ より、点 $P(t, \frac{C}{t})$ における接線の方程式は、

$$ y = -\frac{C}{t^2}x + \frac{2C}{t} $$

となる。$y = \frac{1}{x}$ と連立すると、

$$ \frac{1}{x} = -\frac{C}{t^2}x + \frac{2C}{t} $$

$$ Cx^2 - 2Ctx + t^2 = 0 $$

これが $x > 0$ で異なる $2$ つの実数解をもつ条件を考える。判別式を $D$ とすると、$D > 0$ より、

$$ \frac{D}{4} = (Ct)^2 - Ct^2 = Ct^2(C - 1) > 0 $$

$t > 0$ より $t^2 > 0$ であるから、$C(C - 1) > 0$ となり、$C < 0$ または $C > 1$ である。さらに、$2$ つの解が正であるためには、解と係数の関係より $\alpha\beta = \frac{t^2}{C} > 0$ が必要であり、$C > 0$ を満たさなければならない。

したがって、$C > 1$ である。

以上より、一般に $f(x)$ は $f(x) = \frac{C}{x}$ （$C$ は $C > 1$ を満たす定数）という関数である。

(2)

(1) より、方程式 $Cx^2 - 2Ctx + t^2 = 0$ の $2$ つの解 $\alpha, \beta$ ($\alpha < \beta$) が点 $Q, R$ の $x$ 座標である。解の公式より、

$$ x = \frac{Ct \pm \sqrt{C^2t^2 - Ct^2}}{C} = t \left( 1 \pm \frac{\sqrt{C(C - 1)}}{C} \right) $$

であるから、

$$ \alpha = t \left( 1 - \frac{\sqrt{C(C - 1)}}{C} \right), \quad \beta = t \left( 1 + \frac{\sqrt{C(C - 1)}}{C} \right) $$

となる。

求める面積 $S$ は、線分 $QR$ と曲線 $y = \frac{1}{x}$ で囲まれる部分の面積である。区間 $\alpha \leqq x \leqq \beta$ において、線分 $QR$ は曲線の上側にあるから、

$$ S = \int_{\alpha}^{\beta} \left( -\frac{C}{t^2}x + \frac{2C}{t} - \frac{1}{x} \right) dx $$

ここで、積分を $2$ つの部分に分けて計算する。前半部分は直線の下側の台形の面積であるから、

$$ \int_{\alpha}^{\beta} \left( -\frac{C}{t^2}x + \frac{2C}{t} \right) dx = \frac{1}{2}(\beta - \alpha)\left( \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} \right) = \frac{1}{2}(\beta - \alpha)\frac{\alpha + \beta}{\alpha\beta} $$

解と係数の関係 $\alpha + \beta = 2t$、$\alpha\beta = \frac{t^2}{C}$ と、$\beta - \alpha = \frac{2t\sqrt{C(C - 1)}}{C}$ を代入すると、

$$ \frac{1}{2} \cdot \frac{2t\sqrt{C(C - 1)}}{C} \cdot \frac{2t}{\frac{t^2}{C}} = 2\sqrt{C(C - 1)} $$

となる。一方、後半部分の積分は、

$$ \int_{\alpha}^{\beta} \frac{1}{x} dx = \left[ \log x \right]_{\alpha}^{\beta} = \log \beta - \log \alpha = \log \frac{\beta}{\alpha} $$

ここで、

$$ \frac{\beta}{\alpha} = \frac{1 + \frac{\sqrt{C(C - 1)}}{C}}{1 - \frac{\sqrt{C(C - 1)}}{C}} = \frac{C + \sqrt{C(C - 1)}}{C - \sqrt{C(C - 1)}} $$

となる。

したがって、面積 $S$ は、

$$ S = 2\sqrt{C(C - 1)} - \log \frac{C + \sqrt{C(C - 1)}}{C - \sqrt{C(C - 1)}} $$

となり、この結果は定数 $C$ のみで表され、接点の $x$ 座標 $t$ を含まない。ゆえに、囲まれる図形の面積は点 $P$ に無関係であることが証明された。

解説

関数方程式・微分方程式を自ら立式して解く問題である。点 $P$ が中点であるという幾何学的な条件を、座標平面上の解と係数の関係を用いて数式化するアプローチが基本となる。$xf'(x) + f(x) = 0$ から $(xf(x))' = 0$ に気づけるかが最大のポイントである。

また、(1) において $y = \frac{1}{x}$ と $2$ 点で交わるための条件（この場合は $C > 1$）を確認し忘れないように注意したい。交点の存在条件を忘れると、(2) で根号の中身や対数の真数が正であることが保証できなくなる。(2) の面積計算では、直線の定積分を直接計算するよりも、台形の面積として処理した方が計算の負担を大きく減らすことができる。