九州大学 1975年 理系 第5問 解説

方針・初手

(1) は、曲線 $y=f(x)$ 上の点における法線の方程式を立て、問題文の図形的な条件を $f(x)$ と $f'(x)$ を用いた関係式（微分方程式）に翻訳して解く。 (2) は、(1)で求めた関数を用いて回転体の体積を定積分で立式し、その値が $\pi$ に等しくなるように積分定数を決定する。

解法1

(1)

曲線 $y=f(x)$ 上の任意の点 $P$ の座標を $(t, f(t))$ とおく。 $f'(t) \neq 0$ のとき、点 $P$ における法線の方程式は、

$$y - f(t) = -\frac{1}{f'(t)} (x - t)$$

となる。この法線と $y$ 軸との交点 $Q$ の $y$ 座標は、$x=0$ を代入して、

$$y = f(t) + \frac{t}{f'(t)}$$

よって、$Q$ の座標は $\left(0, f(t) + \frac{t}{f'(t)}\right)$ である。 また、点 $P$ から $y$ 軸に下ろした垂線の足 $R$ の座標は $(0, f(t))$ である。

原点 $O(0, 0)$ と $Q$ の中点が $R$ であるから、$y$ 座標について次が成り立つ。

$$f(t) = \frac{1}{2} \left\{ 0 + f(t) + \frac{t}{f'(t)} \right\}$$

これを整理すると、

$$2f(t) = f(t) + \frac{t}{f'(t)}$$

$$f(t) = \frac{t}{f'(t)}$$

$$f(t)f'(t) = t$$

これが任意の $t$ （ただし $f'(t) \neq 0$ の範囲）について成り立つので、$t$ を $x$ に置き換えて、

$$f(x)f'(x) = x$$

この等式の両辺を $x$ について積分すると、

$$\int f(x)f'(x) dx = \int x dx$$

$$\frac{1}{2} \{f(x)\}^2 = \frac{1}{2} x^2 + C_1$$

$$\{f(x)\}^2 = x^2 + 2C_1$$

$C = 2C_1$ とおくと、

$$\{f(x)\}^2 = x^2 + C \quad (C\text{は定数})$$

となる。したがって、

$$f(x) = \pm\sqrt{x^2 + C} \quad (C\text{は定数})$$

ここで、法線が $y$ 軸と一致するときについて考える。 $x=0$ において $f'(0) = 0$ となる場合、$P(0, f(0))$ での法線は $x = 0$ （$y$ 軸）となり、問題の「法線が $y$ 軸と一致しているときはこの条件は満たされている」という条件に合致する。 求めた関数 $f(x) = \pm\sqrt{x^2 + C}$ において、$C > 0$ であれば、

$$f'(x) = \pm\frac{x}{\sqrt{x^2 + C}}$$

となり、$x=0$ のとき $f'(0)=0$ を満たすため矛盾しない。 よって、求める一般の関数は、

$$f(x) = \pm\sqrt{x^2 + C} \quad (C\text{は定数})$$

(2)

$y=f(x)$ のグラフと $x=-1$, $x=1$, $y=0$ で囲まれる部分の $x$ 軸まわりの回転体の体積 $V$ は、次のように表される。

$$V = \pi \int_{-1}^{1} \{f(x)\}^2 dx$$

(1) より $\{f(x)\}^2 = x^2 + C$ であるから、

$$V = \pi \int_{-1}^{1} (x^2 + C) dx$$

被積分関数は偶関数であるため、

$$V = 2\pi \int_{0}^{1} (x^2 + C) dx$$

$$V = 2\pi \left[ \frac{1}{3}x^3 + Cx \right]_{0}^{1}$$

$$V = 2\pi \left( \frac{1}{3} + C \right)$$

条件より、この体積が $\pi$ に等しいので、

$$2\pi \left( \frac{1}{3} + C \right) = \pi$$

$$2 \left( \frac{1}{3} + C \right) = 1$$

$$\frac{2}{3} + 2C = 1$$

$$2C = \frac{1}{3}$$

$$C = \frac{1}{6}$$

このとき、$\{f(x)\}^2 = x^2 + \frac{1}{6}$ となる。 $x^2 + \frac{1}{6} > 0$ であるため、区間 $[-1, 1]$ において $f(x)$ は常に実数値を取り、正または負で符号は一定となる。したがって、$x$ 軸 （$y=0$） と交わることはなく、囲まれる領域は確定する。

求める関数は、

$$f(x) = \pm\sqrt{x^2 + \frac{1}{6}}$$

解説

微分を用いた図形的な条件を数式に翻訳し、微分方程式を立てて解く典型的な問題である。 (1) では、与えられた「中点である」という図形的な条件をそのまま $y$ 座標の関係式に直すことで、変数分離形の微分方程式 $y y' = x$ が自然に得られる。微分方程式を解く際に積分定数 $C$ を忘れずに記述することが重要である。 (2) の回転体の体積は公式通りである。$\{f(x)\}^2$ がそのまま被積分関数になるため、$f(x)$ の正負の符号によらず体積が一意に定まる点がポイントである。最終的な答えとしては、正負の両方の可能性があるので、$\pm$ を用いて2つの関数を示す必要がある。

答え

(1)

$$f(x) = \pm\sqrt{x^2 + C} \quad (C\text{は定数})$$

(2)

$$f(x) = \pm\sqrt{x^2 + \frac{1}{6}}$$