トップ› 大阪大学› 1977年› 理系第5問

大阪大学 1977年理系第5問解説

方針・初手

点 $P$ の $x$ 座標を変数 $t$ として、接線や点の座標をすべて $t$ を用いて表す。 (1)は定義に従って接線の方程式を求め、$y$ 切片を出し、条件通りに垂線の足 $R$ の座標を求めて $x$ と $y$ の関係式を作る。 (2)は曲線同士、および接線と曲線の上下関係を $f'(x)$ や $f''(x)$ の符号から判断して面積 $S_1, S_2$ の定積分を立式する。$S_1 = S_2$ の等式を得たら、両辺を $t$ で微分して微分方程式を導き、$f(x)$ を決定する。

解法1

(1)

曲線 $C: y = f(x)$ 上の点 $P$ の $x$ 座標を $t \ (t \geqq 0)$ とおく。$P$ の座標は $(t, f(t))$ である。 $P$ における接線の方程式は、

$$ y - f(t) = f'(t)(x - t) $$

$$ y = f'(t)x + f(t) - tf'(t) $$

接線と $y$ 軸との交点 $Q$ の座標は、$(0, f(t) - tf'(t))$ となる。 $Q$ を通り $x$ 軸に平行な直線は $y = f(t) - tf'(t)$ であり、$P$ からこの直線に下ろした垂線の足 $R$ は、直線 $x=t$ との交点であるから、その座標は $(t, f(t) - tf'(t))$ である。 $R$ は $P$ が $C$ 上を動くとき、曲線 $C': y = g(x)$ を描くので、$x$ 座標と $y$ 座標の関係から $t$ を $x$ に置き換えて、

$$ g(x) = f(x) - xf'(x) $$

(2)

点 $P$ の $x$ 座標を $t \ (t \geqq 0)$ とする。 (1)より、$f(x) - g(x) = xf'(x)$ である。$x > 0$ において $f'(x) > 0$ であるから $xf'(x) > 0$ となり、$x > 0$ の範囲で曲線 $C$ は曲線 $C'$ の上側にある。また $x=0$ のときは $f(0) - g(0) = 0$ となり、2曲線は交わる。したがって、2曲線 $C, C'$ と直線 $PR$ ($x=t$) で囲まれる部分の面積 $S_1$ は、

$$ S_1 = \int_0^t \{f(x) - g(x)\} \, dx = \int_0^t xf'(x) \, dx $$

部分積分法を用いると、

$$ S_1 = \Bigl[ xf(x) \Bigr]_0^t - \int_0^t f(x) \, dx = tf(t) - \int_0^t f(x) \, dx $$

一方、$x>0$ において $f''(x)>0$ であるから、曲線 $C$ は下に凸であり、接線 $PQ$ は $C$ の下側にある。直線 $PQ$ の方程式は $y = f'(t)x + f(t) - tf'(t)$ であるから、曲線 $C$、直線 $PQ$ および $y$ 軸で囲まれる部分の面積 $S_2$ は、

$$ S_2 = \int_0^t \left\{ f(x) - (f'(t)x + f(t) - tf'(t)) \right\} \, dx $$

これを計算すると、

$$ S_2 = \int_0^t f(x) \, dx - \left[ \frac{1}{2}f'(t)x^2 + (f(t) - tf'(t))x \right]_0^t $$

$$ S_2 = \int_0^t f(x) \, dx - \left\{ \frac{1}{2}f'(t)t^2 + t(f(t) - tf'(t)) \right\} $$

$$ S_2 = \int_0^t f(x) \, dx - tf(t) + \frac{1}{2}t^2f'(t) $$

$P$ が $C$ 上を動くときつねに $S_1 = S_2$ が成り立つので、

$$ tf(t) - \int_0^t f(x) \, dx = \int_0^t f(x) \, dx - tf(t) + \frac{1}{2}t^2f'(t) $$

移項して整理すると、

$$ 2tf(t) - 2\int_0^t f(x) \, dx = \frac{1}{2}t^2f'(t) $$

両辺を $t$ で微分すると、

$$ 2(f(t) + tf'(t)) - 2f(t) = tf'(t) + \frac{1}{2}t^2f''(t) $$

$$ 2tf'(t) = tf'(t) + \frac{1}{2}t^2f''(t) $$

$$ tf'(t) = \frac{1}{2}t^2f''(t) $$

$t > 0$ のとき、両辺を $t$ で割って、

$$ f'(t) = \frac{1}{2}tf''(t) $$

$$ \frac{f''(t)}{f'(t)} = \frac{2}{t} $$

両辺を $t$ について積分すると、$C_1$ を積分定数として、

$$ \log |f'(t)| = 2\log t + C_1 $$

$t > 0$ において $f'(t) > 0$ より絶対値記号はそのまま外すことができ、

$$ \log f'(t) = \log t^2 + C_1 $$

$$ f'(t) = e^{C_1} t^2 $$

$e^{C_1} = a$ ($a>0$) とおくと $f'(t) = at^2$ となり、さらにこれを積分して、

$$ f(t) = \frac{a}{3}t^3 + b \quad (b \text{ は積分定数}) $$

変数 $t$ を $x$ に戻し、$A = \frac{a}{3}, B = b$ とおくと、$f(x)$ は次のように表される。

$$ f(x) = Ax^3 + B \quad (A > 0) $$

曲線 $C$ は2点 $(1, 0), (2, 7)$ を通るので、

$$ \begin{cases} A + B = 0 \\ 8A + B = 7 \end{cases} $$

これを解くと、$A = 1, B = -1$ となる。これは $A > 0$ を満たし、このとき $f'(x) = 3x^2$、$f''(x) = 6x$ であるから、$x > 0$ において $f'(x) > 0$、$f''(x) > 0$ を確かに満たす。

$$ f(x) = x^3 - 1 $$

解説

定積分で表された関数の方程式から、元の関数を決定する典型的な問題である。面積を立式する際、曲線の上下関係を正しく判定することが重要になる。$C$ と $C'$ の上下関係は差の関数の符号から、曲線 $C$ と接線の上下関係は第2次導関数が正であること（下に凸であること）からそれぞれ根拠をもって判断できる。定積分を含む等式が得られたら、両辺を微分して微分方程式に帰着させる定石を確実に実行したい。