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大阪大学 1997年理系第3問解説

方針・初手

直線PA、QBはそれぞれ点Pにおける双曲線の接線、点Qにおける楕円の接線そのものである。接線の方程式を立てて、その傾きの積が $-1$ になるという直交条件から、点Pの座標を決定する。点Qは線分OP上にあるため、$Q(us, ut)$（$0<u<1$）とおくことで計算を進める。交点の座標計算や最大値問題では、与えられた $a, b, c$ と $k$ の関係式を活用して文字を消去し、一変数の最大値問題に帰着させる。

解法1

(1)

点 $P(s, t)$ は双曲線 $H: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{c^2} = 1$ 上の点であるから、以下の関係が成り立つ。

$$ \frac{s^2}{a^2} - \frac{t^2}{c^2} = 1 \iff t^2 = \frac{c^2(s^2 - a^2)}{a^2} $$

直線PAは点Pにおける双曲線 $H$ の接線であるから、その方程式は以下のようになる。

$$ \frac{sx}{a^2} - \frac{ty}{c^2} = 1 $$

この直線PAの傾き $m_1$ は $m_1 = \frac{c^2s}{a^2t}$ である。

一方、点 $Q$ は原点 $O$ と点 $P$ を結ぶ線分上の点であるため、実数 $u$ ($0<u<1$) を用いて $Q(us, ut)$ と表せる。点 $Q$ は楕円 $E: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 上にあるから、直線QBは点Qにおける楕円 $E$ の接線であり、その方程式は以下のようになる。

$$ \frac{usx}{a^2} + \frac{uty}{b^2} = 1 $$

この直線QBの傾き $m_2$ は $m_2 = -\frac{b^2us}{a^2ut} = -\frac{b^2s}{a^2t}$ である。

直線PAと直線QBが直交するとき、$m_1 m_2 = -1$ であるから、以下の式が成り立つ。

$$ \frac{c^2s}{a^2t} \cdot \left(-\frac{b^2s}{a^2t}\right) = -1 $$

整理すると

$$ b^2c^2s^2 = a^4t^2 $$

ここに $t^2 = \frac{c^2(s^2 - a^2)}{a^2}$ を代入する。

$$ b^2c^2s^2 = a^4 \cdot \frac{c^2(s^2 - a^2)}{a^2} = a^2c^2(s^2 - a^2) $$

$c>0$ より $c^2 \neq 0$ であるから両辺を $c^2$ で割って整理する。

$$ b^2s^2 = a^2s^2 - a^4 $$

$$ (a^2 - b^2)s^2 = a^4 $$

$s>0$ かつ $a>b>0$ より $a^2 - b^2 > 0$ であるから

$$ s = \frac{a^2}{\sqrt{a^2 - b^2}} $$

これを $t^2$ の式に代入する。

$$ t^2 = \frac{c^2}{a^2} \left( \frac{a^4}{a^2 - b^2} - a^2 \right) = \frac{c^2}{a^2} \cdot \frac{a^4 - a^4 + a^2b^2}{a^2 - b^2} = \frac{b^2c^2}{a^2 - b^2} $$

$t>0$ かつ $a, b, c > 0$ であるから

$$ t = \frac{bc}{\sqrt{a^2 - b^2}} $$

以上より、点 $P$ の座標が求まる。

(2)

直線PAの方程式 $\frac{sx}{a^2} - \frac{ty}{c^2} = 1$ に $y=0$ を代入すると $x = \frac{a^2}{s}$ となる。したがって、点 $A$ の座標は $\left(\frac{a^2}{s}, 0\right)$ である。 (1)で求めた $s$ を代入すると、

$$ x_A = \frac{a^2}{\frac{a^2}{\sqrt{a^2 - b^2}}} = \sqrt{a^2 - b^2} $$

よって $A(\sqrt{a^2 - b^2}, 0)$ となる。楕円 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ($a>b>0$) の焦点の座標は $(\pm\sqrt{a^2 - b^2}, 0)$ であるため、点 $A$ は楕円の焦点の一つである。

次に、直線QBの方程式 $\frac{usx}{a^2} + \frac{uty}{b^2} = 1$ に $y=0$ を代入すると $x = \frac{a^2}{us}$ となる。したがって、点 $B$ の座標は $\left(\frac{a^2}{us}, 0\right)$ である。点 $Q(us, ut)$ は楕円 $E$ 上の点であるから、

$$ \frac{u^2s^2}{a^2} + \frac{u^2t^2}{b^2} = 1 $$

$$ u^2 \left( \frac{s^2}{a^2} + \frac{t^2}{b^2} \right) = 1 $$

ここに $s^2 = \frac{a^4}{a^2 - b^2}, t^2 = \frac{b^2c^2}{a^2 - b^2}$ を代入する。

$$ u^2 \left( \frac{a^2}{a^2 - b^2} + \frac{c^2}{a^2 - b^2} \right) = 1 $$

$$ u^2 \cdot \frac{a^2 + c^2}{a^2 - b^2} = 1 \implies u^2 = \frac{a^2 - b^2}{a^2 + c^2} $$

$u>0$ であるから $u = \sqrt{\frac{a^2 - b^2}{a^2 + c^2}}$ を得る。これを用いて点 $B$ の $x$ 座標を計算する。

$$ x_B = \frac{a^2}{us} = \frac{a^2}{\sqrt{\frac{a^2 - b^2}{a^2 + c^2}} \cdot \frac{a^2}{\sqrt{a^2 - b^2}}} = \sqrt{a^2 + c^2} $$

よって $B(\sqrt{a^2 + c^2}, 0)$ となる。双曲線 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{c^2} = 1$ ($c>0$) の焦点の座標は $(\pm\sqrt{a^2 + c^2}, 0)$ であるため、点 $B$ は双曲線の焦点の一つである。以上により示された。

(3)

直線PA、QBの方程式はそれぞれ以下の通りである。

$$ \frac{s}{a^2}x - \frac{t}{c^2}y = 1 $$

$$ \frac{us}{a^2}x + \frac{ut}{b^2}y = 1 $$

交点 $R$ の $y$ 座標を求めるため、$x$ を消去する。1番目の式の両辺に $u$ を掛ける。

$$ \frac{us}{a^2}x - \frac{ut}{c^2}y = u $$

2番目の式からこの式を引くと、

$$ ut \left( \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} \right) y = 1 - u $$

$$ ut \cdot \frac{b^2 + c^2}{b^2c^2} y = 1 - u $$

$$ y = \frac{b^2c^2(1 - u)}{ut(b^2 + c^2)} $$

ここで、$u = \sqrt{\frac{a^2 - b^2}{a^2 + c^2}}, t = \frac{bc}{\sqrt{a^2 - b^2}}$ より $ut$ を計算する。

$$ ut = \sqrt{\frac{a^2 - b^2}{a^2 + c^2}} \cdot \frac{bc}{\sqrt{a^2 - b^2}} = \frac{bc}{\sqrt{a^2 + c^2}} $$

これを $y$ の式に代入する。

$$ y = \frac{b^2c^2 \left( 1 - \sqrt{\frac{a^2 - b^2}{a^2 + c^2}} \right)}{\frac{bc}{\sqrt{a^2 + c^2}} (b^2 + c^2)} = \frac{bc \left( \sqrt{a^2 + c^2} - \sqrt{a^2 - b^2} \right)}{b^2 + c^2} $$

問題の条件より $a^2 + c^2 = 1, a^2 - b^2 = k^2$ である。したがって $\sqrt{a^2 + c^2} = 1$ であり、$k>0$ より $\sqrt{a^2 - b^2} = k$ となる。また、$b^2 + c^2$ は次のように定数になる。

$$ b^2 + c^2 = (a^2 - k^2) + (1 - a^2) = 1 - k^2 $$

これらを $y$ の式に代入して整理する。

$$ y = \frac{bc(1 - k)}{1 - k^2} = \frac{bc(1 - k)}{(1 + k)(1 - k)} = \frac{bc}{1 + k} $$

$k$ は定数であるから、$y$ が最大となるのは $bc$ が最大となるとき、すなわち $b^2c^2$ が最大となるときである。 $b^2 = a^2 - k^2, c^2 = 1 - a^2$ より、

$$ b^2c^2 = (a^2 - k^2)(1 - a^2) $$

$x = a^2$ とおくと、条件 $b^2>0, c^2>0$ より $k^2 < x < 1$ である。

$$ f(x) = (x - k^2)(1 - x) = -x^2 + (1 + k^2)x - k^2 $$

平方完成すると、

$$ f(x) = - \left( x - \frac{1 + k^2}{2} \right)^2 + \left( \frac{1 + k^2}{2} \right)^2 - k^2 $$

$0<k<1$ より $k^2 < \frac{1+k^2}{2} < 1$ は満たされるため、$x = \frac{1 + k^2}{2}$ のとき $f(x)$ すなわち $b^2c^2$ は最大となる。このとき、各文字は以下のようになる。

$$ a^2 = \frac{1 + k^2}{2} \implies a = \sqrt{\frac{1 + k^2}{2}} $$

$$ b^2 = a^2 - k^2 = \frac{1 + k^2}{2} - k^2 = \frac{1 - k^2}{2} \implies b = \sqrt{\frac{1 - k^2}{2}} $$

$$ c^2 = 1 - a^2 = 1 - \frac{1 + k^2}{2} = \frac{1 - k^2}{2} \implies c = \sqrt{\frac{1 - k^2}{2}} $$

解説

二次曲線の接線と焦点の性質、およびパラメータの計算を組み合わせた総合問題である。 (1)では、直線PAが「点Pにおける双曲線の接線」、直線QBが「点Qにおける楕円の接線」であることを正しく読み取り、接線の方程式から傾きを求めるアプローチが最も簡明である。 (3)では、交点の $y$ 座標を $a, b, c$ とパラメータ $u, t$ で表した後、与えられた $a^2+c^2=1$ と $a^2-b^2=k^2$ という条件を用いると、分母と分子の根号部分が非常にきれいに定数化される仕掛けになっている。なお、(3)の最大値を求める部分において、 $b^2+c^2 = 1-k^2$ (一定) であることに着目すれば、相加平均と相乗平均の大小関係から $b^2c^2 \leqq \left(\frac{b^2+c^2}{2}\right)^2$ となり、等号成立条件 $b^2=c^2$ から直ちに $a$ の値を求めることも可能である。