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東京工業大学 1962年理系第3問解説

方針・初手

定点を通る証明は、与えられた方程式を $a$ についての恒等式と見なし、$a$ について整理して連立方程式を解く。
2円が接する条件については、2つの円の中心間の距離と半径の関係に注目する（解法1）。または、2円の方程式の差から得られる直線の式（根軸）が円に接する条件を考える（解法2）。

解法1

定点を通る証明

与えられた円の方程式は以下の通りである。

$$ x^2 + y^2 - 4ax - 2ay + 20a - 25 = 0 $$

これを $a$ について整理すると、

$$ x^2 + y^2 - 25 - a(4x + 2y - 20) = 0 $$

この等式が $a$ の値にかかわらず常に成り立つための条件は、以下の2式が同時に成り立つことである。

$$ \begin{cases} x^2 + y^2 - 25 = 0 \\ 4x + 2y - 20 = 0 \end{cases} $$

第2式より $y = -2x + 10$ となり、これを第1式に代入する。

$$ x^2 + (-2x + 10)^2 - 25 = 0 $$

$$ x^2 + 4x^2 - 40x + 100 - 25 = 0 $$

$$ 5x^2 - 40x + 75 = 0 $$

$$ x^2 - 8x + 15 = 0 $$

$$ (x - 3)(x - 5) = 0 $$

よって $x = 3, 5$ である。 $x = 3$ のとき $y = 4$ であり、$x = 5$ のとき $y = 0$ となる。したがって、与えられた円は $a$ の値にかかわらず 2 つの定点 $(3, 4)$ と $(5, 0)$ を通る。

2円が接する条件

与えられた円の方程式を平方完成して、中心と半径を求める。

$$ x^2 - 4ax + y^2 - 2ay = 25 - 20a $$

$$ (x - 2a)^2 + (y - a)^2 = 25 - 20a + 4a^2 + a^2 $$

$$ (x - 2a)^2 + (y - a)^2 = 5a^2 - 20a + 25 $$

右辺について $5a^2 - 20a + 25 = 5(a - 2)^2 + 5 > 0$ であるため、これは常に円を表す。この円を $C_1$ とすると、$C_1$ の中心は $(2a, a)$、半径は $\sqrt{5a^2 - 20a + 25}$ である。

もう一つの円 $x^2 + y^2 = 5$ を $C_2$ とすると、$C_2$ の中心は $(0, 0)$、半径は $\sqrt{5}$ である。

2円の中心間の距離を $d$ とすると、

$$ d = \sqrt{(2a - 0)^2 + (a - 0)^2} = \sqrt{5a^2} = \sqrt{5}|a| $$

2円が接するのは、外接または内接する場合である。

（i）外接する場合条件は $d = \text{($C_1$ の半径)} + \text{($C_2$ の半径)}$ である。

$$ \sqrt{5}|a| = \sqrt{5a^2 - 20a + 25} + \sqrt{5} $$

両辺を $\sqrt{5}$ で割ると、

$$ |a| = \sqrt{a^2 - 4a + 5} + 1 $$

$$ |a| - 1 = \sqrt{a^2 - 4a + 5} $$

右辺が正であるため $|a| - 1 > 0$ すなわち $a > 1$ または $a < -1$ のもとで両辺を2乗する。

$$ (|a| - 1)^2 = a^2 - 4a + 5 $$

$$ a^2 - 2|a| + 1 = a^2 - 4a + 5 $$

$$ 2|a| = 4a - 4 $$

$$ |a| = 2a - 2 $$

$a > 1$ のとき、 $a = 2a - 2$ より $a = 2$ となり条件を満たす。 $a < -1$ のとき、 $-a = 2a - 2$ より $3a = 2$ すなわち $a = \frac{2}{3}$ となるが、条件を満たさないため不適。

（ii）内接する場合条件は $d = |\text{($C_1$ の半径)} - \text{($C_2$ の半径)}|$ である。

$$ \sqrt{5}|a| = |\sqrt{5a^2 - 20a + 25} - \sqrt{5}| $$

両辺を $\sqrt{5}$ で割ると、

$$ |a| = |\sqrt{a^2 - 4a + 5} - 1| $$

両辺を2乗する。

$$ a^2 = a^2 - 4a + 5 - 2\sqrt{a^2 - 4a + 5} + 1 $$

$$ 4a - 6 = -2\sqrt{a^2 - 4a + 5} $$

$$ 3 - 2a = \sqrt{a^2 - 4a + 5} $$

右辺が正であるため $3 - 2a > 0$ すなわち $a < \frac{3}{2}$ のもとで両辺を2乗する。

$$ (3 - 2a)^2 = a^2 - 4a + 5 $$

$$ 9 - 12a + 4a^2 = a^2 - 4a + 5 $$

$$ 3a^2 - 8a + 4 = 0 $$

$$ (3a - 2)(a - 2) = 0 $$

これを解くと $a = \frac{2}{3}, 2$ となるが、$a < \frac{3}{2}$ を満たすのは $a = \frac{2}{3}$ のみである。

(i), (ii)より、求める $a$ の値は $a = \frac{2}{3}, 2$ である。

解法2

定点を通る証明は解法1と同じであるため省略し、接する条件について別解を示す。

与えられた円の方程式を $C_1$、もう一方の円の方程式を $C_2$ とする。

$$ C_1: x^2 + y^2 - 4ax - 2ay + 20a - 25 = 0 $$

$$ C_2: x^2 + y^2 - 5 = 0 $$

2円が接するとき、その接点を通る共通接線が存在する。2円の方程式の差を計算することで、共通接線（共有点を1つだけ持つ共通弦）の方程式を求めることができる。$C_1 - C_2$ より、

$$ -4ax - 2ay + 20a - 20 = 0 $$

$$ 2ax + ay - 10a + 10 = 0 $$

2円が接するということは、この直線が円 $C_2$ と接することと同値である。直線が円 $C_2$ に接するための条件は、円の中心 $(0,0)$ と直線の距離が円の半径 $\sqrt{5}$ と等しくなることである。（ただし $a=0$ のとき直線は $10=0$ となり不適であるため、$a \neq 0$ と仮定してよい。）

点と直線の距離の公式より、

$$ \frac{|-10a + 10|}{\sqrt{(2a)^2 + a^2}} = \sqrt{5} $$

$$ \frac{10|a - 1|}{\sqrt{5a^2}} = \sqrt{5} $$

$$ \frac{10|a - 1|}{\sqrt{5}|a|} = \sqrt{5} $$

両辺に $\sqrt{5}|a|$ を掛けて整理する。

$$ 10|a - 1| = 5|a| $$

$$ 2|a - 1| = |a| $$

両辺を2乗して解く。

$$ 4(a^2 - 2a + 1) = a^2 $$

$$ 4a^2 - 8a + 4 = a^2 $$

$$ 3a^2 - 8a + 4 = 0 $$

$$ (3a - 2)(a - 2) = 0 $$

これを解いて、$a = \frac{2}{3}, 2$ となる。

解説

定点通過の証明は「ある文字に関する恒等式」と見なす典型的な処理である。円と円が接する条件は、2円の中心間距離と半径の和・差を比較するアプローチが王道であるが、絶対値や根号を含む方程式を解く際に同値変形（両辺を2乗する際の符号の条件など）に注意が必要となる。解法2のように、2つの円の方程式の差から共通接線（根軸）の方程式を導き、それが円に接するという条件に言い換えるアプローチは、計算量が大幅に削減される強力な手法であるため習得しておきたい。