東京工業大学 2015年 理系 第2問 解説

方針・初手

与えられた辺の長さから、基準となるベクトル $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ の大きさと、それぞれの内積の値をあらかじめ求めておく。 点 $H$ が平面 $ABC$ 上にある条件（係数の和が $1$）と、$\overrightarrow{OH}$ が平面 $ABC$ 内の $2$ つの1次独立なベクトルと垂直である条件を立式する。点 $H'$ についても同様に、平面 $OBC$ 上にある条件と垂直条件を用いる。 四面体の体積は、固定された正三角形である $\triangle OBC$ を底面とし、高さ $AH'$ を用いて計算する方が、式が簡潔になる。

解法1

問題の条件より、$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ の大きさは以下のようになる。

$$ |\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1 $$

また、各辺の長さから内積を求める。$|\overrightarrow{BC}|^2 = |\vec{c} - \vec{b}|^2 = 1$ より、

$$ |\vec{c}|^2 - 2\vec{b}\cdot\vec{c} + |\vec{b}|^2 = 1 $$

$$ 1 - 2\vec{b}\cdot\vec{c} + 1 = 1 \implies \vec{b}\cdot\vec{c} = \frac{1}{2} $$

同様に、$|\overrightarrow{AB}|^2 = |\vec{b} - \vec{a}|^2 = x^2$ より、

$$ |\vec{b}|^2 - 2\vec{a}\cdot\vec{b} + |\vec{a}|^2 = x^2 \implies \vec{a}\cdot\vec{b} = \frac{2 - x^2}{2} $$

$|\overrightarrow{AC}|^2 = |\vec{c} - \vec{a}|^2 = x^2$ より、

$$ |\vec{c}|^2 - 2\vec{a}\cdot\vec{c} + |\vec{a}|^2 = x^2 \implies \vec{a}\cdot\vec{c} = \frac{2 - x^2}{2} $$

(1)

まず $s, t$ を求める。点 $H'$ は平面 $OBC$ 上にあるため、$\overrightarrow{OH'} = s\vec{b} + t\vec{c}$ と表される。 また、$AH' \perp 平面 OBC$ であるから、$\overrightarrow{AH'} \perp \vec{b}$ かつ $\overrightarrow{AH'} \perp \vec{c}$ が成り立つ。

$$ \overrightarrow{AH'} = \overrightarrow{OH'} - \overrightarrow{OA} = -\vec{a} + s\vec{b} + t\vec{c} $$

$\overrightarrow{AH'} \cdot \vec{b} = 0$ より、

$$ -\vec{a}\cdot\vec{b} + s|\vec{b}|^2 + t\vec{b}\cdot\vec{c} = 0 $$

$$ -\frac{2 - x^2}{2} + s + \frac{1}{2}t = 0 \implies 2s + t = 2 - x^2 \quad \cdots ① $$

$\overrightarrow{AH'} \cdot \vec{c} = 0$ より、

$$ -\vec{a}\cdot\vec{c} + s\vec{b}\cdot\vec{c} + t|\vec{c}|^2 = 0 $$

$$ -\frac{2 - x^2}{2} + \frac{1}{2}s + t = 0 \implies s + 2t = 2 - x^2 \quad \cdots ② $$

①, ② を連立して解くと、

$$ s = t = \frac{2 - x^2}{3} $$

次に $p, q, r$ を求める。点 $H$ は平面 $ABC$ 上にあるので、

$$ p + q + r = 1 \quad \cdots ③ $$

が成り立つ。また、$OH \perp 平面 ABC$ であるから、$\overrightarrow{OH} \perp \overrightarrow{AB}$ かつ $\overrightarrow{OH} \perp \overrightarrow{AC}$ が成り立つ。 $\overrightarrow{OH} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$ より、

$$ (p\vec{a} + q\vec{b} + r\vec{c}) \cdot (\vec{b} - \vec{a}) = 0 $$

$$ -p|\vec{a}|^2 + p\vec{a}\cdot\vec{b} - q\vec{a}\cdot\vec{b} + q|\vec{b}|^2 - r\vec{a}\cdot\vec{c} + r\vec{b}\cdot\vec{c} = 0 $$

内積の値を代入して整理すると、

$$ -p + p\left(\frac{2 - x^2}{2}\right) - q\left(\frac{2 - x^2}{2}\right) + q - r\left(\frac{2 - x^2}{2}\right) + r\left(\frac{1}{2}\right) = 0 $$

両辺を $2$ 倍して整理する。

$$ -px^2 + qx^2 + r(x^2 - 1) = 0 \quad \cdots ④ $$

同様に、$\overrightarrow{OH} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$ から、

$$ (p\vec{a} + q\vec{b} + r\vec{c}) \cdot (\vec{c} - \vec{a}) = 0 $$

$$ -px^2 + q(x^2 - 1) + rx^2 = 0 \quad \cdots ⑤ $$

④ $-$ ⑤ より、

$$ q - r = 0 \implies q = r $$

これを ④ に代入すると、

$$ -px^2 + qx^2 + q(x^2 - 1) = 0 \implies px^2 = q(2x^2 - 1) $$

③ より $p = 1 - 2q$ であるから、これを代入して、

$$ (1 - 2q)x^2 = q(2x^2 - 1) $$

$$ x^2 - 2qx^2 = 2qx^2 - q \implies q(4x^2 - 1) = x^2 $$

よって、$q = \frac{x^2}{4x^2 - 1}$ を得る。これより、

$$ r = \frac{x^2}{4x^2 - 1} $$

$$ p = 1 - 2\left(\frac{x^2}{4x^2 - 1}\right) = \frac{4x^2 - 1 - 2x^2}{4x^2 - 1} = \frac{2x^2 - 1}{4x^2 - 1} $$

(2)

四面体 $OABC$ の体積 $V$ を、$\triangle OBC$ を底面とし、線分 $AH'$ を高さとして求める。 $\triangle OBC$ は一辺の長さが $1$ の正三角形であるから、その面積は、

$$ \triangle OBC = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{4} $$

次に、$AH'$ の長さを求める。(1) の結果より、

$$ \overrightarrow{AH'} = \frac{2 - x^2}{3}(\vec{b} + \vec{c}) - \vec{a} $$

であるから、

$$ |\overrightarrow{AH'}|^2 = \frac{(2 - x^2)^2}{9}|\vec{b} + \vec{c}|^2 - \frac{2(2 - x^2)}{3}\vec{a}\cdot(\vec{b} + \vec{c}) + |\vec{a}|^2 $$

ここで、

$$ |\vec{b} + \vec{c}|^2 = |\vec{b}|^2 + 2\vec{b}\cdot\vec{c} + |\vec{c}|^2 = 1 + 2\left(\frac{1}{2}\right) + 1 = 3 $$

$$ \vec{a}\cdot(\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a}\cdot\vec{b} + \vec{a}\cdot\vec{c} = \frac{2 - x^2}{2} + \frac{2 - x^2}{2} = 2 - x^2 $$

これらを代入して計算する。

$$ \begin{aligned} |\overrightarrow{AH'}|^2 &= \frac{(2 - x^2)^2}{9} \cdot 3 - \frac{2(2 - x^2)}{3}(2 - x^2) + 1 \\ &= \frac{(2 - x^2)^2}{3} - \frac{2(2 - x^2)^2}{3} + 1 \\ &= 1 - \frac{(2 - x^2)^2}{3} \\ &= \frac{3 - (x^4 - 4x^2 + 4)}{3} \\ &= \frac{-x^4 + 4x^2 - 1}{3} \end{aligned} $$

$AH' > 0$ より、

$$ AH' = \sqrt{\frac{-x^4 + 4x^2 - 1}{3}} $$

したがって、四面体 $OABC$ の体積 $V$ は、

$$ \begin{aligned} V &= \frac{1}{3} \cdot \triangle OBC \cdot AH' \\ &= \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \sqrt{\frac{-x^4 + 4x^2 - 1}{3}} \\ &= \frac{1}{12} \sqrt{-x^4 + 4x^2 - 1} \end{aligned} $$

次に、$V$ の最大値を求める。根号の中を平方完成すると、

$$ V = \frac{1}{12} \sqrt{-(x^2 - 2)^2 + 3} $$

四面体が存在するためには $V > 0$、すなわち $-x^4 + 4x^2 - 1 > 0$ である必要があり、このとき $x^2 > 0$ の条件も満たされる。 根号の中身は $x^2 = 2$ のときに最大値 $3$ をとる。$x > 0$ より、$x = \sqrt{2}$ のときである。 このとき、$V$ の最大値は、

$$ V = \frac{1}{12} \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{12} $$

解説

空間ベクトルにおいて、頂点から対面へ下ろした垂線の足を求める典型問題である。係数の和が $1$ になる条件と、平面上の独立な $2$ つのベクトルとの内積が $0$ になる条件を組み合わせることで立式できる。 (2) において、底面を $\triangle ABC$ として高さを $OH$ とする方針でも計算可能だが、(1) で求めた $p, q, r$ の式が分数式であるため計算量が膨大になる。すべての辺の長さが定数で与えられている正三角形 $\triangle OBC$ を底面として選ぶことで、見通しよく計算を進めることができる。図形の対称性や条件式の複雑さから、どの面を底面とするかを判断することが重要である。

答え

(1)

$$ \begin{aligned} p &= \frac{2x^2 - 1}{4x^2 - 1} \\ q &= \frac{x^2}{4x^2 - 1} \\ r &= \frac{x^2}{4x^2 - 1} \\ s &= \frac{2 - x^2}{3} \\ t &= \frac{2 - x^2}{3} \end{aligned} $$

(2)

$$ V = \frac{1}{12} \sqrt{-x^4 + 4x^2 - 1} $$

最大値は $x = \sqrt{2}$ のとき $\frac{\sqrt{3}}{12}$