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大阪大学 2020年理系第1問解説

方針・初手

底と指数の両方に変数 $x$ が含まれる関数の最大値や極限を調べる問題である。両辺の自然対数をとる対数微分法を用いることで、導関数を求めやすくなる。極限計算では、与えられた $\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x} = 0$ の事実を活用するために式変形を行う。

解法1

(1)

$x \geqq 0$ のとき $x+1 \geqq 1 > 0$ であるから、$f(x) > 0$ である。両辺の自然対数をとると、

$$ \log f(x) = \frac{\log(x+1)}{x+1} $$

となる。両辺を $x$ について微分すると、

$$ \frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{\frac{1}{x+1} \cdot (x+1) - \log(x+1) \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{1 - \log(x+1)}{(x+1)^2} $$

したがって、導関数 $f'(x)$ は次のように求まる。

$$ f'(x) = (x+1)^{\frac{1}{x+1}} \frac{1 - \log(x+1)}{(x+1)^2} $$

$f'(x) = 0$ となるのは、$1 - \log(x+1) = 0$ のときである。これを解くと、

$$ \log(x+1) = 1 $$

$$ x+1 = e $$

$$ x = e-1 $$

$x \geqq 0$ における $f(x)$ の増減を調べる。

$0 \leqq x < e-1$ のとき、$1 \leqq x+1 < e$ より $0 \leqq \log(x+1) < 1$ となるため、$f'(x) > 0$ である。

$x > e-1$ のとき、$x+1 > e$ より $\log(x+1) > 1$ となるため、$f'(x) < 0$ である。

したがって、$f(x)$ は $x = e-1$ で極大かつ最大となる。最大値は、

$$ f(e-1) = e^{\frac{1}{e}} $$

である。

(2)

まず、$f(x)$ の極限を求める。

$$ \lim_{x \to \infty} \log f(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{\log(x+1)}{x+1} $$

ここで $t = x+1$ とおくと、$x \to \infty$ のとき $t \to \infty$ であるから、与えられた極限の条件を用いて、

$$ \lim_{t \to \infty} \frac{\log t}{t} = 0 $$

となる。よって、$\lim_{x \to \infty} \log f(x) = 0$ である。自然対数の底 $e$ を用いて $f(x) = e^{\log f(x)}$ と表せることと、指数関数の連続性より、

$$ \lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} e^{\log f(x)} = e^0 = 1 $$

次に、$f'(x)$ の極限を求める。（1）で求めた導関数より、

$$ \lim_{x \to \infty} f'(x) = \lim_{x \to \infty} f(x) \left\{ \frac{1}{(x+1)^2} - \frac{\log(x+1)}{(x+1)^2} \right\} $$

ここで、右辺の括弧内の第2項について、

$$ \lim_{x \to \infty} \frac{\log(x+1)}{(x+1)^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{\log(x+1)}{x+1} \cdot \frac{1}{x+1} = 0 \cdot 0 = 0 $$

となる。また、$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{(x+1)^2} = 0$ であり、すでに求めたように $\lim_{x \to \infty} f(x) = 1$ であるから、

$$ \lim_{x \to \infty} f'(x) = 1 \cdot (0 - 0) = 0 $$

(3)

（1）と（2）の結果から、$y=f(x)$ のグラフは以下の特徴を持つ。

定義域は $x \geqq 0$ であり、端点は $(0, f(0)) = (0, 1)$ である。
$0 \leqq x < e-1$ で単調に増加し、$x = e-1$ で極大かつ最大値 $e^{\frac{1}{e}}$ をとる。
$x > e-1$ で単調に減少する。
$x \to \infty$ のとき、$y \to 1$ かつ $y' \to 0$ であるため、直線 $y=1$ を漸近線として上側から限りなく近づき、その際の接線の傾きは $0$ に近づく。

これらの特徴を満たすようになめらかな曲線を描くことでグラフの概形が得られる。

解説

関数 $y = x^{\frac{1}{x}}$ のグラフや極限を問う頻出問題の変形である。底と指数の両方に変数が含まれる関数では、対数微分法を用いるのが定石となる。極限の計算では、対数をとった式 $\log f(x)$ の極限を先に求め、そこから $f(x)$ 本体の極限へ戻す手順を確実に踏む必要がある。導関数の極限 $\lim_{x \to \infty} f'(x) = 0$ は、グラフの右側で傾きが水平に近づくことを示しており、漸近線の様子をより正確に捉える助けとなる。