東北大学 1997年 理系 第3問 解説

方針・初手

（1） まず

$$ f(x)=\frac{\log x}{x}\qquad (x>0) $$

を微分し，増減を調べる。これで極値とグラフの概形が分かる。

（2） 不等式 $a^x\ge x^a$ は両辺の対数をとると，（1） で調べた関数

$$ \frac{\log t}{t} $$

の大小関係に言い換えられる。したがって （1） の結果をそのまま使えばよい。

解法1

（1） 極値，$x$ 軸との交点，概形

関数

$$ f(x)=\frac{\log x}{x} $$

を微分すると，

$$ f'(x)=\frac{x\cdot \frac{1}{x}-\log x}{x^2} =\frac{1-\log x}{x^2} $$

となる。

ここで $x^2>0$ であるから，$f'(x)$ の符号は $1-\log x$ の符号で決まる。

$$ 1-\log x>0 \iff \log x<1 \iff x<e $$

より，

• $0<x<e$ で $f'(x)>0$
• $x=e$ で $f'(x)=0$
• $x>e$ で $f'(x)<0$

である。したがって $f(x)$ は $x=e$ で極大値をとる。

その値は

$$ f(e)=\frac{\log e}{e}=\frac{1}{e} $$

である。

よって，極値は

• 極大値 $\dfrac{1}{e}$ （$x=e$ のとき）
• 極小値はない

である。

次に，$x$ 軸との交点は

$$ f(x)=0 \iff \frac{\log x}{x}=0 \iff \log x=0 \iff x=1 $$

より，

$$ (1,0) $$

である。

さらに両端の様子をみると，

$$ \lim_{x\to 0+}\frac{\log x}{x}=-\infty, \qquad \lim_{x\to \infty}\frac{\log x}{x}=0 $$

である。

したがってグラフの概形は次のようになる。

• $x\to 0+$ で $y\to -\infty$
• $0<x<e$ で単調増加
• $x=1$ で $x$ 軸と交わる
• $x=e$ で極大値 $\dfrac{1}{e}$ をとる
• $x>e$ で単調減少
• $x\to \infty$ で $y\to 0+$

（2） $a$ の範囲

$a>0$ とする。不等式

$$ a^x\ge x^a $$

が $x\ge a$ を満たすすべての $x$ に対して成り立つ条件を求める。

両辺は正なので対数をとることができ，

$$ a^x\ge x^a \iff x\log a\ge a\log x \iff \frac{\log a}{a}\ge \frac{\log x}{x} $$

となる。

ここで

$$ f(t)=\frac{\log t}{t} $$

とおけば，これは

$$ f(a)\ge f(x)\qquad (x\ge a) $$

がすべての $x\ge a$ に対して成り立つことを意味する。

（1） より，$f(t)$ は $t=e$ までは増加し，$t=e$ 以降は減少する。

したがって，$x\ge a$ の範囲で常に $f(a)\ge f(x)$ が成り立つためには，$a$ が減少区間の入り口以降にあること，すなわち

$$ a\ge e $$

でなければならない。

実際，

• $a\ge e$ のとき $f$ は $[a,\infty)$ で単調減少だから，任意の $x\ge a$ に対して

$$ f(a)\ge f(x) $$

となり，したがって

$$ a^x\ge x^a $$

が成り立つ。

• $0<a<e$ のとき $f$ は $[a,e]$ で増加するから，たとえば $x=e$ をとると

$$ f(e)>f(a) $$

となる。よって

$$ \frac{\log a}{a}\ge \frac{\log e}{e} $$

は成り立たず，したがって $a^x\ge x^a$ は $x\ge a$ のすべてでは成り立たない。

以上より，求める範囲は

$$ a\ge e $$

である。

解説

この問題の核は

$$ \frac{\log x}{x} $$

の増減である。

（1） では，微分して極大を調べればグラフはほぼ決まる。特に $x=e$ で最大になることが重要である。

（2） では，そのまま指数関数の大小を比べるのではなく，対数をとって

$$ a^x\ge x^a \iff \frac{\log a}{a}\ge \frac{\log x}{x} $$

と変形するのが典型手法である。すると （1） の結果がそのまま使え，$a$ は減少区間に入っていなければならないことが分かる。

答え

(1)

• 極大値は $\dfrac{1}{e}$ （$x=e$ のとき）
• 極小値はない
• $x$ 軸との交点は $(1,0)$

グラフは，$x\to 0+$ で $-\infty$ に下がり，$x=1$ で $x$ 軸と交わり，$x=e$ で最大値 $\dfrac{1}{e}$ をとったのち，単調減少して $x\to\infty$ で $0$ に近づく。

(2)

$$ a\ge e $$

である。