九州大学 2011年 理系 第2問 解説

方針・初手

(1) は関数の微分を行い、増減表を作成して極値を求める。 (2) は微分を用いて関数の最大値を求め、不等式を証明する。後半の極限は前半の不等式を利用してはさみうちの原理を適用する。 (3) は方程式の実数解の個数の問題である。定数 $k$ を分離し、(1) で調べた関数 $y = f(x)$ のグラフと直線 $y = k$ の共有点の個数を調べる定石を用いる。

解法1

(1)

与えられた関数 $f(x) = (x^2 + 2x + 2 - a^2)e^{-x}$ を $x$ について微分する。

$$ \begin{aligned} f'(x) &= (2x + 2)e^{-x} + (x^2 + 2x + 2 - a^2)(-e^{-x}) \\ &= (2x + 2 - x^2 - 2x - 2 + a^2)e^{-x} \\ &= (-x^2 + a^2)e^{-x} \\ &= -(x - a)(x + a)e^{-x} \end{aligned} $$

$a > 0$ であり、常に $e^{-x} > 0$ であるから、$f'(x) = 0$ となる $x$ の値は $x = a, -a$ である。

増減表は次のようになる。

$x$	$\cdots$	$-a$	$\cdots$	$a$	$\cdots$
$f'(x)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$
$f(x)$	$\searrow$	極小	$\nearrow$	極大	$\searrow$

増減表より、$x = a$ のとき極大となり、$x = -a$ のとき極小となる。

極大値は、

$$ f(a) = (a^2 + 2a + 2 - a^2)e^{-a} = 2(a + 1)e^{-a} $$

極小値は、

$$ f(-a) = (a^2 - 2a + 2 - a^2)e^{a} = 2(1 - a)e^{a} $$

(2)

$g(x) = x^3 e^{-x}$ とおく。これを $x$ について微分すると、

$$ g'(x) = 3x^2 e^{-x} + x^3 (-e^{-x}) = x^2 (3 - x)e^{-x} $$

$x \geqq 3$ のとき、$x^2 > 0$、$e^{-x} > 0$、$3 - x \leqq 0$ であるから、$g'(x) \leqq 0$ となる。

よって、$g(x)$ は $x \geqq 3$ において単調に減少する。

したがって、$x \geqq 3$ のとき $g(x) \leqq g(3)$ が成り立つ。

$$ g(3) = 3^3 e^{-3} = 27e^{-3} $$

であるから、不等式 $x^3 e^{-x} \leqq 27e^{-3}$ が成り立つことが示された。

次に、極限値 $\lim_{x \to \infty} x^2 e^{-x}$ を求める。

$x \geqq 3$ において、上記の不等式より、

$$ 0 < x^3 e^{-x} \leqq 27e^{-3} $$

が成り立つ。各辺を $x$ ($> 0$) で割ると、

$$ 0 < x^2 e^{-x} \leqq \frac{27e^{-3}}{x} $$

となる。ここで、$x \to \infty$ のとき $\frac{27e^{-3}}{x} \to 0$ であるから、はさみうちの原理により、

$$ \lim_{x \to \infty} x^2 e^{-x} = 0 $$

(3)

2つのグラフ $y = x^2 + 2x + 2$ と $y = k e^x + a^2$ が異なる3点で交わるための必要十分条件は、方程式

$$ x^2 + 2x + 2 = k e^x + a^2 $$

が異なる3つの実数解をもつことである。これを変形すると、

$$ x^2 + 2x + 2 - a^2 = k e^x $$

両辺に $e^{-x}$ ($> 0$) を掛けると、

$$ (x^2 + 2x + 2 - a^2)e^{-x} = k $$

すなわち、$f(x) = k$ となる。これは、$y = f(x)$ のグラフと直線 $y = k$ が異なる3つの共有点をもつことと同値である。

$y = f(x)$ の極限を調べる。(2) の結果を用いると、$\lim_{x \to \infty} x e^{-x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \cdot x^2 e^{-x} = 0 \cdot 0 = 0$、$ \lim_{x \to \infty} e^{-x} = 0$ より、

$$ \lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \left( x^2 e^{-x} + 2x e^{-x} + (2 - a^2)e^{-x} \right) = 0 $$

となる。また、$t = -x$ とおくと、$x \to -\infty$ のとき $t \to \infty$ であり、

$$ \lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{t \to \infty} (t^2 - 2t + 2 - a^2)e^{t} = \infty $$

となる。

これと (1) の増減表から、$y = f(x)$ のグラフは、

• $x < -a$ の範囲で単調に減少し、値域は $(2(1 - a)e^{a}, \infty)$
• $-a \leqq x \leqq a$ の範囲で単調に増加し、値域は $[2(1 - a)e^{a}, 2(a + 1)e^{-a}]$
• $x > a$ の範囲で単調に減少し、$y = 0$ に漸近する。値域は $(0, 2(a + 1)e^{-a})$

となる。

直線 $y = k$ との交点が3つになるのは、$x < -a$、$-a < x < a$、$x > a$ のそれぞれの区間で1つずつ交点をもつときである。

各区間での値域を考慮すると、$k$ が満たすべき条件は、

$$ \begin{cases} k > 2(1 - a)e^{a} \\ k < 2(a + 1)e^{-a} \\ k > 0 \end{cases} $$

を同時に満たすことである。

$a > 0$ より $2(a + 1)e^{-a} > 0$ であるから、求める必要十分条件は、

$$ k > 0 \quad \text{かつ} \quad 2(1 - a)e^{a} < k < 2(a + 1)e^{-a} $$

となる。

解説

(1) は基本的な微分と増減表の作成である。

(2) は自ら設定した不等式を利用して、はさみうちの原理から極限を求める典型的な手法である。

(3) は定数分離法を用いて方程式の実数解の個数をグラフの共有点の個数に帰着させる定石問題である。右側での漸近線 $y = 0$ の存在により、$k > 0$ という条件が加わることに注意が必要となる。極小値 $f(-a)$ の符号が $a$ の値によって正にも負にもなり得るため、極小値と漸近線の上下関係を正しく把握することがポイントである。

答え

(1) 極大値: $2(a + 1)e^{-a}$ （$x = a$ のとき） 極小値: $2(1 - a)e^{a}$ （$x = -a$ のとき）

(2) 証明は略。極限値は $0$。

(3) $k > 0$ かつ $2(1 - a)e^{a} < k < 2(a + 1)e^{-a}$