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大阪大学 2020年理系第2問解説

方針・初手

複素数の積の形をしているため、極形式の性質（またはド・モアブルの定理）を用いて偏角の和の問題に変換する。 $Z_n$ が実数になる条件は、その虚部が $0$ になること、すなわち偏角が $\pi$ の整数倍になることである。これにより、さいころの目の和を $3$ で割った余りの推移（確率漸化式）の問題に帰着させる。

解法1

$k$ 回目に出る目によって定まる確率変数 $X_k$ の確率はそれぞれ以下のようになる。 $P(X_k = 1) = \frac{1}{6}$ $P(X_k = -1) = \frac{1}{6}$ $P(X_k = 0) = 1 - \left( \frac{1}{6} + \frac{1}{6} \right) = \frac{2}{3}$

$Y_k$ は次のように表される。

$$ Y_k = \cos\left(\frac{\pi}{3}X_k\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{3}X_k\right) $$

$Z_n = Y_1 Y_2 \cdots Y_n$ について、極形式の積の性質より偏角は足し合わされるため、以下のように変形できる。

$$ Z_n = \cos\left( \frac{\pi}{3} \sum_{k=1}^n X_k \right) + i\sin\left( \frac{\pi}{3} \sum_{k=1}^n X_k \right) $$

ここで、$S_n = \sum_{k=1}^n X_k$ とおく。 $Z_n$ が実数となる条件は、虚部が $0$ になること、すなわち $\sin\left( \frac{\pi}{3} S_n \right) = 0$ となることである。これが成り立つのは $\frac{\pi}{3} S_n = m\pi$ （$m$ は整数）のときであり、整理すると $S_n = 3m$ となる。したがって、$Z_n$ が実数になることは、「$S_n$ が $3$ の倍数になる（$S_n \equiv 0 \pmod 3$）」ことと同値である。

(1) $Z_2$ が実数となる確率 $p_2$ を求める。 $S_2 = X_1 + X_2$ が $3$ の倍数となる場合を考える。 $X_k \in \{-1, 0, 1\}$ より、$-2 \le S_2 \le 2$ であるため、この範囲で $S_2$ が $3$ の倍数となるのは $S_2 = 0$ のみである。 $S_2 = 0$ となるのは、以下の $3$ つの排反な事象のいずれかである。

(i)

$(X_1, X_2) = (0, 0)$ のときその確率は $\frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{9}$

(ii)

$(X_1, X_2) = (1, -1)$ のときその確率は $\frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$

(iii)

$(X_1, X_2) = (-1, 1)$ のときその確率は $\frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$

よって、$Z_2$ が実数となる確率 $p_2$ は、

$$ p_2 = \frac{4}{9} + \frac{1}{36} + \frac{1}{36} = \frac{18}{36} = \frac{1}{2} $$

求める確率は $Z_2$ が実数でない確率なので、余事象の確率より以下となる。

$$ 1 - p_2 = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} $$

(2) $Z_1, Z_2, \cdots, Z_n$ がいずれも実数でない確率は、すべての $k = 1, 2, \cdots, n$ について $S_k \not\equiv 0 \pmod 3$ となる確率である。 $S_k \not\equiv 0 \pmod 3$ であるという条件の下で、$S_{k+1} \not\equiv 0 \pmod 3$ となる遷移確率を考える。 $S_{k+1} = S_k + X_{k+1}$ であるから、以下のようになる。

(i)

$S_k \equiv 1 \pmod 3$ のとき $S_{k+1} \not\equiv 0 \pmod 3$ となるのは、$X_{k+1} \not\equiv 2 \pmod 3$、すなわち $X_{k+1} = 0, 1$ のときである。その確率は $\frac{2}{3} + \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ である。

(ii)

$S_k \equiv 2 \pmod 3$ のとき $S_{k+1} \not\equiv 0 \pmod 3$ となるのは、$X_{k+1} \not\equiv 1 \pmod 3$、すなわち $X_{k+1} = 0, -1$ のときである。その確率は $\frac{2}{3} + \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ である。

いずれの場合も、次に $3$ の倍数にならない確率は $\frac{5}{6}$ である。また、$k=1$ において $S_1 = X_1 \not\equiv 0 \pmod 3$ となるのは、$X_1 = 1, -1$ のときであり、その確率は $\frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$ である。したがって、求める確率は以下のようになる。

$$ \frac{1}{3} \times \left( \frac{5}{6} \right)^{n-1} $$

(3) $p_n = P(S_n \equiv 0 \pmod 3)$ である。 $n \ge 2$ について、$S_{n-1}$ を $3$ で割った余りで場合分けをして漸化式を立てる。 $S_n = S_{n-1} + X_n$ が $3$ の倍数になるのは、以下の $3$ つの排反な事象のいずれかである。

(i)

$S_{n-1} \equiv 0 \pmod 3$ かつ $X_n = 0$ のとき (ii)

$S_{n-1} \equiv 1 \pmod 3$ かつ $X_n = -1$ のとき (iii)

$S_{n-1} \equiv 2 \pmod 3$ かつ $X_n = 1$ のとき

それぞれの確率を足し合わせると、

$$ p_n = P(S_{n-1} \equiv 0 \pmod 3) \times \frac{2}{3} + P(S_{n-1} \equiv 1 \pmod 3) \times \frac{1}{6} + P(S_{n-1} \equiv 2 \pmod 3) \times \frac{1}{6} $$

ここで、$P(S_{n-1} \equiv 1 \pmod 3) + P(S_{n-1} \equiv 2 \pmod 3)$ は「$S_{n-1}$ が $3$ の倍数でない確率」であるから、$1 - p_{n-1}$ に等しい。したがって、

$$ \begin{aligned} p_n &= \frac{2}{3} p_{n-1} + \frac{1}{6} (1 - p_{n-1}) \\ &= \frac{1}{2} p_{n-1} + \frac{1}{6} \end{aligned} $$

この漸化式を変形すると、

$$ p_n - \frac{1}{3} = \frac{1}{2} \left( p_{n-1} - \frac{1}{3} \right) $$

これより、数列 $\left\{ p_n - \frac{1}{3} \right\}$ は公比 $\frac{1}{2}$ の等比数列である。初項 $p_1$ は $X_1 = 0$ となる確率なので $p_1 = \frac{2}{3}$ である。よって一般項は、

$$ p_n - \frac{1}{3} = \left( p_1 - \frac{1}{3} \right) \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1} $$

$$ p_n = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1} $$

極限については、$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = 0$ であるから、

$$ \lim_{n \to \infty} p_n = \frac{1}{3} $$

解説

複素数の積と確率の融合問題である。複素数の極形式の積が偏角の和になることを用いると、$n$ 回の試行の和に関する確率問題に言い換えることができる。(2)と(3)はいずれも状態推移に着目する典型的な解法である。$3$ で割った余りが $1$ になる状態と $2$ になる状態が、確率推移において全く対称にはたらくため、余りが $0$ の状態とそれ以外の状態という実質 $2$ 状態のマルコフ連鎖として立式できることが最大のポイントである。