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九州大学 1991年理系第5問解説

方針・初手

(1) は関数 $g(x)$ を微分して増減を調べます。定義域が $x \ge 0$ であることに注意し、極値と $x \to \infty$ における極限、および $x$ 軸との交点を調べてグラフの概形を把握します。

(2) は $f(x)$ を微分し、$f'(x) = 0$ の解の存在とその前後での導関数の符号変化を調べます。$f'(x) = a + g(x)$ となるため、$f'(x)$ の符号変化は $y = g(x)$ のグラフと直線 $y = -a$ の上下関係の入れ替わりとして視覚的に捉えることができます。

解法1

(1)

$g(x) = e^{-x} (\cos x - \sin x)$ を $x$ について微分する。積の微分公式より、

$$\begin{aligned} g'(x) &= -e^{-x}(\cos x - \sin x) + e^{-x}(-\sin x - \cos x) \\ &= -2e^{-x}\cos x \end{aligned}$$

$x \ge 0$ において $g'(x) = 0$ となる $x$ の値は、$\cos x = 0$ より、

$$x = \frac{\pi}{2} + n\pi \quad (n = 0, 1, 2, \dots)$$

また、$g(x) = 0$ となる $x$ の値は、$\cos x - \sin x = 0$ すなわち $\tan x = 1$ より、

$$x = \frac{\pi}{4} + n\pi \quad (n = 0, 1, 2, \dots)$$

さらに、$x \to \infty$ のとき、$- \sqrt{2} \le \cos x - \sin x \le \sqrt{2}$ であり、$e^{-x} \to 0$ であるからはさみうちの原理より、

$$\lim_{x \to \infty} g(x) = 0$$

以上より、$x \ge 0$ における $g(x)$ の増減表は以下のようになる。

$x$	$0$	$\dots$	$\frac{\pi}{2}$	$\dots$	$\frac{3\pi}{2}$	$\dots$	$\frac{5\pi}{2}$	$\dots$
$g'(x)$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$g(x)$	$1$	$\searrow$	$-e^{-\frac{\pi}{2}}$	$\nearrow$	$e^{-\frac{3\pi}{2}}$	$\searrow$	$-e^{-\frac{5\pi}{2}}$	$\nearrow$

グラフの概形は、点 $(0, 1)$ を出発し、$x = \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \dots$ で $x$ 軸と交わりながら、極大値と極小値を交互に取りつつ $x$ 軸（$y = 0$）に漸近していく減衰振動の曲線となる。（解答用紙にはこの増減表と特徴をもとにグラフを描画する）

(2)

$f(x) = ax + e^{-x} \sin x$ を微分する。

$$\begin{aligned} f'(x) &= a - e^{-x}\sin x + e^{-x}\cos x \\ &= a + e^{-x}(\cos x - \sin x) \\ &= a + g(x) \end{aligned}$$

$f(x)$ が区間 $0 < x < 2\pi$ 内で極値として極大値のみを $1$ つだけもつための条件は、同区間内において $f'(x)$ の符号が「正から負」に変化する $x$ の値がただ $1$ つ存在し、かつ「負から正」に変化する $x$ の値が存在しないことである。

これは、関数 $y = g(x)$ のグラフが区間 $0 < x < 2\pi$ において直線 $y = -a$ と交わり、かつその交点の前後で $g(x)$ の値が $-a$ より大きい状態から小さい状態へただ $1$ 回だけ移行し、逆の移行が起こらないことと同値である。

(1) で求めた $y = g(x)$ のグラフの $0 \le x \le 2\pi$ の範囲における特徴を整理する。

$g(0) = 1$
区間 $0 < x < \frac{\pi}{2}$ で単調減少
$x = \frac{\pi}{2}$ で極小値 $-e^{-\frac{\pi}{2}}$
区間 $\frac{\pi}{2} < x < \frac{3\pi}{2}$ で単調増加
$x = \frac{3\pi}{2}$ で極大値 $e^{-\frac{3\pi}{2}}$
区間 $\frac{3\pi}{2} < x < 2\pi$ で単調減少
$g(2\pi) = e^{-2\pi}$

ここで、$1 > e^{-\frac{3\pi}{2}} > e^{-2\pi} > 0 > -e^{-\frac{\pi}{2}}$ であることに注意して、直線 $y = -a$ の位置によって交点と符号変化を場合分けする。

(i) $-a \ge 1$ すなわち $a \le -1$ のとき区間 $0 < x < 2\pi$ において常に $g(x) < -a$ となり、$f'(x) < 0$ であるため極値をもたない。

(ii) $e^{-\frac{3\pi}{2}} \le -a < 1$ すなわち $-1 < a \le -e^{-\frac{3\pi}{2}}$ のとき区間 $0 < x < \frac{\pi}{2}$ で $y = g(x)$ と $y = -a$ はただ $1$ 回交わる。この交点を $x = \alpha$ とすると、$x = \alpha$ の前後で $g(x)$ は $-a$ より大きい値から小さい値へと変化する（$f'(x)$ は正から負へ変化）。さらに、$\frac{\pi}{2} \le x < 2\pi$ においては常に $g(x) \le e^{-\frac{3\pi}{2}} \le -a$ であるため、$y = g(x)$ が $y = -a$ を下から上へまたぐことはない。したがって、極大値のみを $1$ つだけもつ条件を満たす。（なお、$-a = e^{-\frac{3\pi}{2}}$ のとき、$x = \frac{3\pi}{2}$ で $g(x) = -a$ となるが、その前後で $g(x) \le -a$ のままであり符号は変化しないため極値とならない）

(iii) $e^{-2\pi} < -a < e^{-\frac{3\pi}{2}}$ すなわち $-e^{-\frac{3\pi}{2}} < a < -e^{-2\pi}$ のとき区間 $0 < x < \frac{\pi}{2}$ に加え、区間 $\frac{\pi}{2} < x < \frac{3\pi}{2}$ および $\frac{3\pi}{2} < x < 2\pi$ でも $1$ 回ずつ交わる。これにより極小値ももつことになり不適。

(iv) $-e^{-\frac{\pi}{2}} < -a \le e^{-2\pi}$ すなわち $-e^{-2\pi} \le a < e^{-\frac{\pi}{2}}$ のとき区間 $0 < x < \frac{\pi}{2}$ と区間 $\frac{\pi}{2} < x < \frac{3\pi}{2}$ で $1$ 回ずつ交わる。極大値と極小値を $1$ つずつもつため不適。

(v) $-a \le -e^{-\frac{\pi}{2}}$ すなわち $a \ge e^{-\frac{\pi}{2}}$ のとき区間 $0 < x < 2\pi$ において常に $g(x) \ge -a$ となり（等号は $x = \frac{\pi}{2}$ でのみ成立）、$f'(x)$ の符号は負にならないため極値をもたない。

以上より、求める $a$ の範囲は (ii) の場合である。