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東京工業大学 2000年理系第2問解説

方針・初手

(1) 与えられた複素数の絶対値の不等式を2乗し、$|z|^2=r^2$ および $z+\bar{z}=2r\cos\theta$ を用いて $r, \theta$ の条件式に直す。極座標における動径 $r \ge 0$ に注意して同値変形を行う。 (2) 与式は初項 $1$、公比 $z$、項数 $n+1$ の等比数列の和の絶対値の2乗である。公比 $z=1$ の場合とそうでない場合とで場合分けを行う。$z \neq 1$ の場合は等比数列の和の公式とド・モアブルの定理を用いて計算する。 (3) (1) で求めた条件のもとで、(2) で求めた式の分子と分母の大小関係を比較する。不等式評価を用いて目標の不等式を導く。

解法1

(1)

与えられた条件式は以下の通りである。

$$ \left|z + \frac{1}{2}\right| < \frac{1}{2} $$

両辺はともに0以上であるため、2乗しても同値である。

$$ \left|z + \frac{1}{2}\right|^2 < \frac{1}{4} $$

$$ \left(z + \frac{1}{2}\right)\left(\bar{z} + \frac{1}{2}\right) < \frac{1}{4} $$

$$ z\bar{z} + \frac{1}{2}(z + \bar{z}) + \frac{1}{4} < \frac{1}{4} $$

$$ |z|^2 + \frac{1}{2}(z + \bar{z}) < 0 $$

ここで、極座標表示 $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ より、$|z|^2 = r^2$ および $z + \bar{z} = 2r\cos\theta$ であるから、代入して整理する。

$$ r^2 + r\cos\theta < 0 $$

$$ r(r + \cos\theta) < 0 $$

極座標の定義より $r \ge 0$ であるが、$r=0$ とすると上式は $0 < 0$ となり不成立である。したがって $r > 0$ である。両辺を正の数 $r$ で割ると、次が得られる。

$$ r + \cos\theta < 0 $$

$$ r < -\cos\theta $$

$r > 0$ と合わせて、求める必要十分条件は以下の通りである。

$$ 0 < r < -\cos\theta $$

(2)

与式 $S = |1 + z + \dots + z^n|^2$ について考える。

(i)

$z=1$ すなわち $r=1$ かつ $\cos\theta=1$ のとき $1 + z + \dots + z^n = 1 + 1 + \dots + 1 = n+1$ であるから、

$$ |1 + z + \dots + z^n|^2 = (n+1)^2 $$

(ii)

$z \neq 1$ のとき等比数列の和の公式より、

$$ 1 + z + \dots + z^n = \frac{1-z^{n+1}}{1-z} $$

よって、

$$ |1 + z + \dots + z^n|^2 = \frac{|1-z^{n+1}|^2}{|1-z|^2} $$

分母について、

$$ 1-z = 1 - r(\cos\theta + i\sin\theta) = (1-r\cos\theta) - ir\sin\theta $$

$$ |1-z|^2 = (1-r\cos\theta)^2 + (-r\sin\theta)^2 = 1 - 2r\cos\theta + r^2 $$

分子について、ド・モアブルの定理より $z^{n+1} = r^{n+1}(\cos(n+1)\theta + i\sin(n+1)\theta)$ であるから、

$$ 1-z^{n+1} = (1-r^{n+1}\cos(n+1)\theta) - ir^{n+1}\sin(n+1)\theta $$

$$ |1-z^{n+1}|^2 = (1-r^{n+1}\cos(n+1)\theta)^2 + (-r^{n+1}\sin(n+1)\theta)^2 = 1 - 2r^{n+1}\cos(n+1)\theta + r^{2n+2} $$

したがって、求める式は以下のようになる。

$$ \frac{1 - 2r^{n+1}\cos(n+1)\theta + r^{2n+2}}{1 - 2r\cos\theta + r^2} $$

(3)

条件 $\left|z + \frac{1}{2}\right| < \frac{1}{2}$ が成り立つとき、(1) の結果より $0 < r < -\cos\theta$ が成り立つ。また、$-\cos\theta \le 1$ であるから $0 < r < 1$ であり、明らかに $z \neq 1$ である。したがって (2) の（ii）の結果を用いることができ、

$$ |1 + z + \dots + z^n|^2 = \frac{1 - 2r^{n+1}\cos(n+1)\theta + r^{2n+2}}{1 - 2r\cos\theta + r^2} $$

これが $1$ 未満であることを示す。分母は $|1-z|^2 > 0$ であるため、(分母) - (分子) $> 0$ を示せばよい。

$$ (1 - 2r\cos\theta + r^2) - (1 - 2r^{n+1}\cos(n+1)\theta + r^{2n+2}) = r^2 - 2r\cos\theta - r^{2n+2} + 2r^{n+1}\cos(n+1)\theta $$

ここで、(1) より $r\cos\theta < -r^2$ であるから、$-2r\cos\theta > 2r^2$ が成り立つ。これを用いて下から評価する。

$$ r^2 - 2r\cos\theta - r^{2n+2} + 2r^{n+1}\cos(n+1)\theta > r^2 + 2r^2 - r^{2n+2} + 2r^{n+1}\cos(n+1)\theta $$

$$ = 3r^2 - r^{2n+2} + 2r^{n+1}\cos(n+1)\theta $$

さらに、$\cos(n+1)\theta \ge -1$ より $2r^{n+1}\cos(n+1)\theta \ge -2r^{n+1}$ であるから、

$$ 3r^2 - r^{2n+2} + 2r^{n+1}\cos(n+1)\theta \ge 3r^2 - 2r^{n+1} - r^{2n+2} = r^2(3 - 2r^{n-1} - r^{2n}) $$

$0 < r < 1$ および自然数 $n \ge 1$ であることから、括弧の中身を評価する。 $n=1$ のとき：

$$ r^2(3 - 2 - r^2) = r^2(1 - r^2) > 0 $$

$n \ge 2$ のとき： $r^{n-1} < 1$ かつ $r^{2n} < 1$ であるから、

$$ 3 - 2r^{n-1} - r^{2n} > 3 - 2 \cdot 1 - 1 = 0 $$

よって、すべての自然数 $n$ について (分母) - (分子) $> 0$ が成り立つ。したがって、

$$ 1 - 2r^{n+1}\cos(n+1)\theta + r^{2n+2} < 1 - 2r\cos\theta + r^2 $$

両辺を $1 - 2r\cos\theta + r^2$ $(>0)$ で割ることで、次が成り立つ。

$$ |1 + z + \dots + z^n|^2 < 1 $$

ゆえに、$|1 + z + \dots + z^n| < 1$ が示された。

解説

複素数平面における円の内部を表す不等式を極座標で表現し、等比数列の和の絶対値を評価する問題である。(1) において、単に $r < -\cos\theta$ とするだけでなく、極座標の定義から $r>0$ であることを確認し条件に含めることが重要である。(2) では、問題文に明記されていなくても $z=1$ の場合分けを怠らないようにする。(3) の不等式評価では、(1) から得られる $-2r\cos\theta > 2r^2$ を用いて $\theta$ への依存を消去し、$r$ の多項式に帰着させて $0<r<1$ を用いて評価する流れが典型かつ有効である。