大阪大学 2020年 理系 第3問 解説

方針・初手

三角形の角と辺の長さに関する関係式を示す問題である。角と辺を直接結びつけるために正弦定理を用いるのが自然である。 $\angle \text{ABC} = \theta$ とおき、正弦定理によって辺の長さ $b, c$ の関係を $\theta$ の式で表す。これにより、幾何的な不等式の証明を三角関数の不等式の証明へと帰着させる。

解法1

$\angle \text{ABC} = \theta$ とおく。条件 $\angle \text{ACB} = n \angle \text{ABC}$ より、$\angle \text{ACB} = n\theta$ である。 三角形の内角の和は $\pi$ であるから、

$$ \angle \text{BAC} = \pi - (\angle \text{ABC} + \angle \text{ACB}) = \pi - (n+1)\theta $$

$\angle \text{BAC} > 0$ であるため、

$$ \pi - (n+1)\theta > 0 \iff 0 < \theta < \frac{\pi}{n+1} $$

が成り立つ。 $\triangle \text{ABC}$ において正弦定理を用いると、

$$ \frac{b}{\sin \theta} = \frac{c}{\sin(n\theta)} $$

が成り立つ。これを $c$ について解くと、

$$ c = \frac{\sin(n\theta)}{\sin \theta} b $$

となる。ここで $b > 0$ かつ $0 < \theta < \frac{\pi}{n+1} < \pi$ より $\sin \theta > 0$ であるから、示すべき不等式 $c < nb$ は、

$$ \frac{\sin(n\theta)}{\sin \theta} < n \iff \sin(n\theta) < n\sin \theta $$

と同値である。したがって、$0 < \theta < \frac{\pi}{n+1}$ において $\sin(n\theta) < n\sin \theta$ が成り立つことを示せばよい。

関数 $f(\theta)$ を

$$ f(\theta) = n\sin \theta - \sin(n\theta) $$

と定義し、これを $\theta$ で微分すると、

$$ f'(\theta) = n\cos \theta - n\cos(n\theta) = n(\cos \theta - \cos(n\theta)) $$

となる。 $n \ge 2$ であり、$0 < \theta < \frac{\pi}{n+1}$ であるから、

$$ 0 < \theta < n\theta < \frac{n}{n+1}\pi < \pi $$

が成り立つ。関数 $y = \cos x$ は区間 $0 < x < \pi$ において単調減少であるから、$\theta < n\theta$ より

$$ \cos \theta > \cos(n\theta) $$

となる。したがって $f'(\theta) > 0$ となり、$f(\theta)$ は区間 $0 \le \theta < \frac{\pi}{n+1}$ において単調に増加する。 $f(0) = n\sin 0 - \sin 0 = 0$ であるから、$0 < \theta < \frac{\pi}{n+1}$ において

$$ f(\theta) > 0 $$

すなわち

$$ \sin(n\theta) < n\sin \theta $$

が成り立つ。 以上より、$c < nb$ が示された。

解法2

正弦定理を用いて、示すべき不等式が

$$ \sin(n\theta) < n\sin \theta \quad \left(0 < \theta < \frac{\pi}{n+1}\right) $$

に帰着されるところまでは解法1と同様である。この不等式を、数学的帰納法を用いて証明する。

(i)

$n = 2$ のとき 示すべき不等式は $\sin 2\theta < 2\sin \theta$ （$0 < \theta < \frac{\pi}{3}$）である。 左辺を変形すると、

$$ \sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta $$

となる。$0 < \theta < \frac{\pi}{3}$ において $\sin \theta > 0$ かつ $\cos \theta < 1$ であるから、

$$ 2\sin \theta \cos \theta < 2\sin \theta \cdot 1 = 2\sin \theta $$

となり、$n = 2$ のとき不等式は成り立つ。

(ii)

$n = k$ （$k \ge 2$）のとき、条件の範囲で不等式が成り立つと仮定する。すなわち、

$$ \sin(k\theta) < k\sin \theta \quad \left(0 < \theta < \frac{\pi}{k+1}\right) $$

を仮定する。 $n = k+1$ のとき、$\theta$ のとり得る範囲は $0 < \theta < \frac{\pi}{k+2}$ である。この範囲の $\theta$ は $0 < \theta < \frac{\pi}{k+1}$ を満たすため、帰納法の仮定を適用できる。 加法定理を用いると、

$$ \sin((k+1)\theta) = \sin(k\theta)\cos \theta + \cos(k\theta)\sin \theta $$

となる。 $k \ge 2$ のとき、$0 < \theta < \frac{\pi}{k+2} \le \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{2}$ であるから $\cos \theta > 0$ である。帰納法の仮定 $\sin(k\theta) < k\sin \theta$ の両辺に $\cos \theta$ を掛けると、

$$ \sin(k\theta)\cos \theta < k\sin \theta \cos \theta $$

が得られる。これを用いると、

$$ \begin{aligned} \sin((k+1)\theta) &< k\sin \theta \cos \theta + \cos(k\theta)\sin \theta \\ &= \sin \theta (k\cos \theta + \cos(k\theta)) \end{aligned} $$

となる。 ここで、$0 < \theta < \frac{\pi}{k+2}$ より $\cos \theta < 1$ であり、また $0 < k\theta < \frac{k\pi}{k+2} < \pi$ より $\cos(k\theta) < 1$ である。 したがって、

$$ k\cos \theta + \cos(k\theta) < k \cdot 1 + 1 = k + 1 $$

となる。$\sin \theta > 0$ であるから、

$$ \sin \theta (k\cos \theta + \cos(k\theta)) < (k+1)\sin \theta $$

が導かれ、

$$ \sin((k+1)\theta) < (k+1)\sin \theta $$

が成り立つ。よって、$n = k+1$ のときも不等式は成り立つ。

（i）, （ii） より、2以上のすべての自然数 $n$ について、$\sin(n\theta) < n\sin \theta$ が成り立つ。 したがって、$c < nb$ が示された。

解説

正弦定理を用いて幾何的な問題を代数（三角関数）の不等式に言い換えることが第一歩である。辺の比が正弦（$\sin$）の比に等しいという性質を用いることで、見通しよく解くことができる。 言い換えたあとの $\sin(n\theta) < n\sin \theta$ は、微積分による評価、あるいは加法定理と数学的帰納法を用いた評価のいずれでも証明可能である。解法1のように微分を用いる方針は、関数の増減を調べるだけで済むため非常に汎用的であり、受験数学において強力な解法となる。

答え

正弦定理より $c = \frac{\sin(n\theta)}{\sin \theta}b$ を導き、関数 $f(\theta) = n\sin \theta - \sin(n\theta)$ の増減、または数学的帰納法を用いて $\sin(n\theta) < n\sin \theta$ を示すことで、題意の $c < nb$ を証明した。