東北大学 1965年 文系 第5問 解説

方針・初手

与えられた式に含まれる $\tan \frac{a}{2}$ および $\cot \frac{a}{2}$ を $\sin$ と $\cos$ で表し、三角関数の加法定理や半角の公式を用いて $x$ の関数として整理します。$x$ の部分を1つのサイン関数などにまとめることで、最大値を $a$ の式で表すことができます。さらにその最大値が $1$ となるような $a$ について、$\sin a$ の符号で場合分けをして方程式を解きます。

解法1

$x$ の関数を $f(x)$ とおく。

$$ f(x) = \tan \frac{a}{2} \sin x \cos (x + 2a) + \cot \frac{a}{2} \cos x \sin (x + 2a) $$

関数に $\tan \frac{a}{2}$ および $\cot \frac{a}{2}$ が含まれているため、$\cos \frac{a}{2} \neq 0$ かつ $\sin \frac{a}{2} \neq 0$、すなわち $\sin a \neq 0$ が前提となる。 これらを $\sin$ と $\cos$ を用いて書き直すと、

$$ f(x) = \frac{\sin \frac{a}{2}}{\cos \frac{a}{2}} \sin x \cos(x+2a) + \frac{\cos \frac{a}{2}}{\sin \frac{a}{2}} \cos x \sin(x+2a) $$

通分して整理する。

$$ \begin{aligned} f(x) &= \frac{\sin^2 \frac{a}{2} \sin x \cos(x+2a) + \cos^2 \frac{a}{2} \cos x \sin(x+2a)}{\sin \frac{a}{2} \cos \frac{a}{2}} \\ &= \frac{2}{\sin a} \left\{ \frac{1 - \cos a}{2} \sin x \cos(x+2a) + \frac{1 + \cos a}{2} \cos x \sin(x+2a) \right\} \\ &= \frac{1}{\sin a} \left\{ \sin x \cos(x+2a) + \cos x \sin(x+2a) + \cos a \big( \cos x \sin(x+2a) - \sin x \cos(x+2a) \big) \right\} \end{aligned} $$

括弧内について、加法定理 $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$ および $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$ を逆に用いると、

$$ \begin{aligned} f(x) &= \frac{1}{\sin a} \Big\{ \sin \big( x + (x+2a) \big) + \cos a \sin \big( (x+2a) - x \big) \Big\} \\ &= \frac{1}{\sin a} \big\{ \sin(2x+2a) + \cos a \sin 2a \big\} \end{aligned} $$

さらに $\sin 2a = 2\sin a \cos a$ を用いて、

$$ \begin{aligned} f(x) &= \frac{1}{\sin a} \sin 2(x+a) + \frac{2\sin a \cos^2 a}{\sin a} \\ &= \frac{1}{\sin a} \sin 2(x+a) + 2\cos^2 a \end{aligned} $$

$x$ は全ての実数値をとるので、$-1 \le \sin 2(x+a) \le 1$ である。 したがって、$f(x)$ の最大値 $M$ は $\sin a$ の符号によって次のように決まる。

(i) $\sin a > 0$ のとき

$\sin 2(x+a) = 1$ のときに最大値をとり、

$$ M = \frac{1}{\sin a} + 2\cos^2 a $$

(ii) $\sin a < 0$ のとき

$\sin 2(x+a) = -1$ のときに最大値をとり、

$$ M = -\frac{1}{\sin a} + 2\cos^2 a $$

以上をまとめると、$M = \frac{1}{|\sin a|} + 2\cos^2 a$ と表せる。

次に、$M = 1$ となる $a$ の値を $0 < a < 2\pi$ の範囲で求める。 前提条件より $\sin a \neq 0$ なので、$a \neq \pi$ である。

(ア) $0 < a < \pi$ のとき（$\sin a > 0$）

$$ \frac{1}{\sin a} + 2\cos^2 a = 1 $$

$\cos^2 a = 1 - \sin^2 a$ を代入し、両辺に $\sin a$ を掛けて整理する。

$$ \begin{aligned} 1 + 2\sin a (1 - \sin^2 a) &= \sin a \\ 1 + 2\sin a - 2\sin^3 a &= \sin a \\ 2\sin^3 a - \sin a - 1 &= 0 \end{aligned} $$

因数分解すると、

$$ (\sin a - 1)(2\sin^2 a + 2\sin a + 1) = 0 $$

$2\sin^2 a + 2\sin a + 1 = 2 \left( \sin a + \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{1}{2} > 0$ であるから、$\sin a = 1$ を得る。 $0 < a < \pi$ の範囲では、$a = \frac{\pi}{2}$ である。

(イ) $\pi < a < 2\pi$ のとき（$\sin a < 0$）

$$ -\frac{1}{\sin a} + 2\cos^2 a = 1 $$

同様に $\cos^2 a = 1 - \sin^2 a$ を代入し、整理する。

$$ \begin{aligned} -1 + 2\sin a (1 - \sin^2 a) &= \sin a \\ -1 + 2\sin a - 2\sin^3 a &= \sin a \\ 2\sin^3 a - \sin a + 1 &= 0 \end{aligned} $$

因数分解すると、

$$ (\sin a + 1)(2\sin^2 a - 2\sin a + 1) = 0 $$

$2\sin^2 a - 2\sin a + 1 = 2 \left( \sin a - \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{1}{2} > 0$ であるから、$\sin a = -1$ を得る。 $\pi < a < 2\pi$ の範囲では、$a = \frac{3\pi}{2}$ である。

(ア)、(イ) より、求める $a$ の値は $a = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$ である。

解説

式に $\tan$ と $\cot$ が混在している場合、それらを $\sin$ と $\cos$ の比に直し、加法定理や倍角・半角の公式を利用して簡略化するのが定石です。式の変形を丁寧に行えば、単一のサイン関数の形に帰着できます。 また、振幅となる係数 $\frac{1}{\sin a}$ が正か負かによって、サイン関数が $1$ になるときに最大となるか、$-1$ になるときに最大となるかが変わる点に注意が必要です。絶対値をつけてまとめるか、丁寧に場合分けをして処理します。

答え

$M$ は次のように表される。 $\sin a > 0$ のとき $M = \frac{1}{\sin a} + 2\cos^2 a$ $\sin a < 0$ のとき $M = -\frac{1}{\sin a} + 2\cos^2 a$ （または $M = \frac{1}{|\sin a|} + 2\cos^2 a$）

$M=1$ となる $a$ の値は、 $a = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$