トップ› 東京工業大学› 1965年› 理系第3問

東京工業大学 1965年理系第3問解説

方針・初手

与えられた条件式 $\sin 2x + \sin 2y = 1$ に対して和積の公式を用い、$x+y$ と $x-y$ の式に変形する。$|x-y|$ の最大値および最小値を求めるため、$u = x-y, v = x+y$ と変数を置き換え、$(u, v)$ の存在領域のなかで方程式が解を持つ条件を考える。

解法1

条件式 $\sin 2x + \sin 2y = 1$ に和積の公式を適用すると、

$$ 2 \sin(x+y) \cos(x-y) = 1 $$

となる。ここで、$u = x-y, v = x+y$ とおく。これを $x, y$ について解くと、

$$ x = \frac{u+v}{2}, \quad y = \frac{v-u}{2} $$

となる。$0 \leqq x < \pi, 0 \leqq y < \pi$ であるから、

$$ 0 \leqq \frac{u+v}{2} < \pi, \quad 0 \leqq \frac{v-u}{2} < \pi $$

$$ 0 \leqq u+v < 2\pi, \quad 0 \leqq v-u < 2\pi $$

この不等式を $v$ について整理すると、

$$ -u \leqq v < 2\pi - u, \quad u \leqq v < 2\pi + u $$

これをまとめると、$v$ の取り得る範囲は

$$ |u| \leqq v < 2\pi - |u| $$

となる。また、この区間が存在するための条件 $|u| < 2\pi - |u|$ より、$|u| < \pi$ である。

方程式は $2 \sin v \cos u = 1$ と表せる。 $\cos u = 0$ のとき $0 = 1$ となり不適であるから $\cos u \neq 0$ であり、

$$ \sin v = \frac{1}{2 \cos u} $$

と変形できる。この等式を満たす $v$ が、領域 $|u| \leqq v < 2\pi - |u|$ 内に存在するための $u$ の条件を考える。

(i) $\cos u < 0$（すなわち $\frac{\pi}{2} < |u| < \pi$）のとき

$\frac{1}{2 \cos u} < 0$ であるから、等式を満たすには $\sin v < 0$ となる必要がある。区間 $[|u|, 2\pi - |u|)$ は、$\frac{\pi}{2} < |u| < \pi$ より $\frac{\pi}{2}$ から $\frac{3\pi}{2}$ の間に含まれる。この範囲において $\sin v$ は単調減少するため、$\sin v$ の値域は

$$ \sin(2\pi - |u|) < \sin v \leqq \sin|u| $$

すなわち

$$ -\sin|u| < \sin v \leqq \sin|u| $$

となる。方程式が解を持つためには、

$$ \frac{1}{2 \cos u} > -\sin|u| $$

が必要である。$\cos u = \cos|u| < 0$ であるから、両辺に $2\cos|u|$ を掛けると不等号の向きが反転し、

$$ 1 < -2 \sin|u| \cos|u| $$

$$ 1 < -\sin(2|u|) $$

となる。しかし、すべての実数 $\theta$ に対して $\sin \theta \geqq -1$ であるから、これを満たす $|u|$ は存在しない。

(ii) $\cos u > 0$（すなわち $0 \leqq |u| < \frac{\pi}{2}$）のとき

$\frac{1}{2 \cos u} > 0$ である。区間 $[|u|, 2\pi - |u|)$ は、$v = \frac{\pi}{2}$ を必ず含む（$|u| < \frac{\pi}{2}$ かつ $2\pi - |u| > \frac{3\pi}{2}$ のため）。したがって、この区間における $\sin v$ の最大値は $1$ である。方程式が解を持つためには、

$$ \frac{1}{2 \cos u} \leqq 1 $$

が必要十分である。$\cos u > 0$ より、

$$ \cos u \geqq \frac{1}{2} $$

$0 \leqq |u| < \frac{\pi}{2}$ においてこれを解くと、

$$ 0 \leqq |u| \leqq \frac{\pi}{3} $$

となる。

以上より、$|x-y| = |u|$ の取り得る範囲は $0 \leqq |x-y| \leqq \frac{\pi}{3}$ である。

最大値のとき $|u| = \frac{\pi}{3}$ であり、$u = \pm \frac{\pi}{3}$ である。このとき $\cos u = \frac{1}{2}$ より $\sin v = 1$ となる。 $v$ の範囲 $\frac{\pi}{3} \leqq v < \frac{5\pi}{3}$ において $\sin v = 1$ を満たすのは $v = \frac{\pi}{2}$。 $(u, v) = \left(\pm \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}\right)$ を $x = \frac{u+v}{2}, y = \frac{v-u}{2}$ に代入すると、

$$ (x, y) = \left( \frac{5\pi}{12}, \frac{\pi}{12} \right), \left( \frac{\pi}{12}, \frac{5\pi}{12} \right) $$

最小値のとき $|u| = 0$ であり、$u = 0$（すなわち $x=y$）である。このとき $\cos u = 1$ より $\sin v = \frac{1}{2}$ となる。 $v$ の範囲 $0 \leqq v < 2\pi$ において $\sin v = \frac{1}{2}$ を満たすのは $v = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$。 $(u, v) = \left(0, \frac{\pi}{6}\right), \left(0, \frac{5\pi}{6}\right)$ を代入すると、

$$ (x, y) = \left( \frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{12} \right), \left( \frac{5\pi}{12}, \frac{5\pi}{12} \right) $$

解説

和積の公式を用いて $x+y$ と $x-y$ の式を作り、それらを新しい変数として捉え直す手法が有効な問題である。変数変換を行った際は、新しい変数の定義域（存在範囲）を正確に求めることが重要となる。本問では、$x-y$ を固定したときに $x+y$ が取り得る区間を考え、その区間内で $\sin(x+y)$ が方程式を満たす値をとれるかどうかを調べることで、$|x-y|$ の範囲を絞り込んでいる。特に第2象限以降の吟味で不等式評価を用いる部分は論理的な正確さが求められる。