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名古屋大学 1996年文系第2問解説

方針・初手

点 $P$ の座標を $(x, y)$ とし、点 $R$ の座標を媒介変数 $t$ を用いて表す。 $\triangle OPR$ が $\angle P = 90^\circ$ の直角二等辺三角形であるという図形的な条件を、ベクトルまたは複素数を用いて立式し、$x, y, t$ の関係式を導く。その後、媒介変数 $t$ を消去して $x, y$ の軌跡の方程式を求め、$t > 0$ の条件から軌跡の範囲を特定する。

解法1

点 $P$ の座標を $(x, y)$ とする。点 $R$ は曲線 $xy = 1 \ (x > 0)$ 上にあるので、$R \left( t, \frac{1}{t} \right) \ (t > 0)$ とおける。

$\triangle OPR$ は $\angle P = 90^\circ$ の直角二等辺三角形であるから、ベクトル $\overrightarrow{PR}$ はベクトル $\overrightarrow{OP}$ を原点中心に $90^\circ$ または $-90^\circ$ 回転させたベクトルである。

$\overrightarrow{OP} = (x, y)$ であるから、これを $90^\circ$ 回転させたベクトルは $(-y, x)$ であり、$-90^\circ$ 回転させたベクトルは $(y, -x)$ である。したがって、$\overrightarrow{PR} = (-y, x)$ または $\overrightarrow{PR} = (y, -x)$ が成り立つ。

(i) $\overrightarrow{PR} = (-y, x)$ のとき

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OR} &= \overrightarrow{OP} + \overrightarrow{PR} \\ &= (x, y) + (-y, x) \\ &= (x - y, x + y) \end{aligned} $$

これが $\left( t, \frac{1}{t} \right)$ に等しいので、

$$ \begin{cases} x - y = t & \cdots \text{①} \\ x + y = \frac{1}{t} & \cdots \text{②} \end{cases} $$

$t > 0$ であるから、①と②より $x - y > 0$ かつ $x + y > 0$ である。 ①と②の辺々を掛け合わせると、

$$ (x - y)(x + y) = t \cdot \frac{1}{t} $$

$$ x^2 - y^2 = 1 $$

また、$x - y > 0$ かつ $x + y > 0$ より $x > |y|$ であり、$x^2 - y^2 = 1$ を満たす実数 $y$ が存在するためには $x^2 \geqq 1$ となる。$x > 0$ より $x \geqq 1$ を得る。逆に $x \geqq 1$ のとき、適当な $t > 0$ が存在して①、②を満たす。

(ii) $\overrightarrow{PR} = (y, -x)$ のとき

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{OR} &= \overrightarrow{OP} + \overrightarrow{PR} \\ &= (x, y) + (y, -x) \\ &= (x + y, y - x) \end{aligned} $$

これが $\left( t, \frac{1}{t} \right)$ に等しいので、

$$ \begin{cases} x + y = t & \cdots \text{③} \\ y - x = \frac{1}{t} & \cdots \text{④} \end{cases} $$

$t > 0$ であるから、③と④より $x + y > 0$ かつ $y - x > 0$ である。 ③と④の辺々を掛け合わせると、

$$ (x + y)(y - x) = t \cdot \frac{1}{t} $$

$$ y^2 - x^2 = 1 $$

また、$x + y > 0$ かつ $y - x > 0$ より $y > |x|$ であり、$y^2 - x^2 = 1$ を満たす実数 $x$ が存在するためには $y^2 \geqq 1$ となる。$y > 0$ より $y \geqq 1$ を得る。逆に $y \geqq 1$ のとき、適当な $t > 0$ が存在して③、④を満たす。

以上より、点 $P$ の軌跡は双曲線 $x^2 - y^2 = 1$ の $x \geqq 1$ の部分、および双曲線 $y^2 - x^2 = 1$ の $y \geqq 1$ の部分である。

解法2

複素数平面を用いて考える。点 $O$ を原点とする。点 $P, R$ を表す複素数をそれぞれ $w, z$ とする。点 $R$ は曲線 $xy = 1 \ (x > 0)$ 上にあるので、$z = t + \frac{1}{t} i \ (t > 0)$ とおける。

$\triangle OPR$ は $\angle P = 90^\circ$ の直角二等辺三角形であるから、点 $P(w)$ は、点 $R(z)$ を原点中心に $45^\circ$ または $-45^\circ$ 回転し、原点からの距離を $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 倍した点である。すなわち、

$$ w = z \left( \cos(\pm 45^\circ) + i \sin(\pm 45^\circ) \right) \times \frac{1}{\sqrt{2}} $$

$$ w = z \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \pm \frac{1}{\sqrt{2}} i \right) \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 \pm i}{2} z $$

(i) 複号が $+$ のとき

$$ \begin{aligned} w &= \frac{1 + i}{2} \left( t + \frac{1}{t} i \right) \\ &= \frac{1}{2} \left( t - \frac{1}{t} \right) + \frac{1}{2} \left( t + \frac{1}{t} \right) i \end{aligned} $$

$w = x + yi$ とおくと、

$$ x = \frac{1}{2} \left( t - \frac{1}{t} \right), \quad y = \frac{1}{2} \left( t + \frac{1}{t} \right) $$

$y^2 - x^2$ を計算すると、

$$ y^2 - x^2 = \frac{1}{4} \left( t + \frac{1}{t} \right)^2 - \frac{1}{4} \left( t - \frac{1}{t} \right)^2 = 1 $$

また、$t > 0, \frac{1}{t} > 0$ であるから、相加平均と相乗平均の大小関係より

$$ y = \frac{1}{2} \left( t + \frac{1}{t} \right) \geqq \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{t \cdot \frac{1}{t}} = 1 $$

等号は $t = \frac{1}{t}$ すなわち $t = 1$ のとき成立する。よって、軌跡の一部として $y^2 - x^2 = 1 \ (y \geqq 1)$ を得る。

(ii) 複号が $-$ のとき

$$ \begin{aligned} w &= \frac{1 - i}{2} \left( t + \frac{1}{t} i \right) \\ &= \frac{1}{2} \left( t + \frac{1}{t} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{t} - t \right) i \end{aligned} $$

$w = x + yi$ とおくと、

$$ x = \frac{1}{2} \left( t + \frac{1}{t} \right), \quad y = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{t} - t \right) $$

$x^2 - y^2$ を計算すると、

$$ x^2 - y^2 = \frac{1}{4} \left( t + \frac{1}{t} \right)^2 - \frac{1}{4} \left( \frac{1}{t} - t \right)^2 = 1 $$

同様に相加平均と相乗平均の大小関係より

$$ x = \frac{1}{2} \left( t + \frac{1}{t} \right) \geqq 1 $$

よって、軌跡の一部として $x^2 - y^2 = 1 \ (x \geqq 1)$ を得る。

解説

「直角二等辺三角形の頂点」という条件を数式に翻訳する際、幾何的なベクトルの回転や、複素数平面における回転と定数倍を利用すると、見通しよく計算を進めることができます。軌跡の方程式を求めた後、媒介変数 $t$ に課された条件（$t > 0$）から、軌跡の $x$ 座標または $y$ 座標の取りうる範囲（定義域や値域）を正確に求めることが重要です。図示する際には、2つの双曲線の漸近線が一致していることや、各曲線の頂点の位置を明記する必要があります。