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東北大学 1966年文系第5問解説

方針・初手

曲線と直線が接するための条件を定式化する。接点の $x$ 座標を $t$ とおき、曲線上の点 $(t, f(t))$ における接線の方程式を求めて、与えられた直線の方程式と係数比較する方針（解法1）が王道である。また、曲線と直線の式を連立した3次方程式が重解をもつ条件として処理する方針（解法2）も考えられる。

解法1

曲線の関数を $f(x) = ax^3 + (1-2a)x$ とする。

これを微分すると

$$ f'(x) = 3ax^2 + 1 - 2a $$

曲線上の点 $(t, f(t))$ における接線の方程式は

$$ y - \{at^3 + (1-2a)t\} = (3at^2 + 1 - 2a)(x - t) $$

これを整理すると

$$ y = (3at^2 + 1 - 2a)x - 2at^3 $$

この直線が与えられた直線 $y = 2x - 2$ と一致するための条件は、各項の係数が等しいことである。したがって

$$ \begin{cases} 3at^2 + 1 - 2a = 2 & \cdots (1) \\ -2at^3 = -2 & \cdots (2) \end{cases} $$

式 (2) より

$$ at^3 = 1 $$

問題文の条件より $a \neq 0$ であるため、$t \neq 0$ である。

式 (1) を変形すると

$$ a(3t^2 - 2) = 1 $$

したがって、$at^3 = a(3t^2 - 2)$ が成り立つ。両辺を $a$ （$a \neq 0$）で割ると

$$ t^3 = 3t^2 - 2 $$

これを整理して因数分解する。

$$ t^3 - 3t^2 + 2 = 0 $$

$$ (t - 1)(t^2 - 2t - 2) = 0 $$

よって、$t = 1, 1 \pm \sqrt{3}$ である。それぞれの場合について $a$ の値を求める。$a = \frac{1}{t^3}$ である。

(i) $t = 1$ のとき

$$ a = \frac{1}{1^3} = 1 $$

(ii) $t = 1 \pm \sqrt{3}$ のとき

$t^2 - 2t - 2 = 0$ を満たすので、$t^2 = 2t + 2$ である。これを用いて $t^3$ の次数を下げる。

$$ \begin{aligned} t^3 &= t \cdot t^2 \\ &= t(2t + 2) \\ &= 2t^2 + 2t \\ &= 2(2t + 2) + 2t \\ &= 6t + 4 \end{aligned} $$

したがって

$$ t^3 = 6(1 \pm \sqrt{3}) + 4 = 10 \pm 6\sqrt{3} $$

よって、$a$ の値は以下のようになる（複号同順）。

$$ \begin{aligned} a &= \frac{1}{10 \pm 6\sqrt{3}} \\ &= \frac{10 \mp 6\sqrt{3}}{(10 + 6\sqrt{3})(10 - 6\sqrt{3})} \\ &= \frac{10 \mp 6\sqrt{3}}{100 - 108} \\ &= \frac{10 \mp 6\sqrt{3}}{-8} \\ &= \frac{-5 \pm 3\sqrt{3}}{4} \end{aligned} $$

以上より、求める $a$ の値は $a = 1, \frac{-5 \pm 3\sqrt{3}}{4}$ である。

解法2

曲線 $y = ax^3 + (1-2a)x$ と直線 $y = 2x - 2$ が $x = t$ で接するための条件は、方程式 $ax^3 + (1-2a)x = 2x - 2$ が $x = t$ を重解にもつことである。

方程式を整理すると

$$ ax^3 - (2a+1)x + 2 = 0 $$

この3次方程式が $x = t$ を重解にもつとき、因数定理より実数 $k$ を用いて以下のように因数分解できる。

$$ ax^3 - (2a+1)x + 2 = a(x-t)^2(x-k) $$

右辺を展開して整理する。

$$ \begin{aligned} a(x-t)^2(x-k) &= a(x^2 - 2tx + t^2)(x-k) \\ &= a\{x^3 - (2t+k)x^2 + (t^2+2tk)x - t^2k\} \\ &= ax^3 - a(2t+k)x^2 + a(t^2+2tk)x - at^2k \end{aligned} $$

元の左辺と係数を比較すると、以下の連立方程式が得られる。

$$ \begin{cases} -a(2t+k) = 0 & \cdots (1) \\ a(t^2+2tk) = -(2a+1) & \cdots (2) \\ -at^2k = 2 & \cdots (3) \end{cases} $$

$a \neq 0$ であるから、式 (1) より

$$ k = -2t $$

これを式 (3) に代入すると

$$ -at^2(-2t) = 2 $$

$$ at^3 = 1 $$

また、$k = -2t$ を式 (2) に代入すると

$$ a(t^2 - 4t^2) = -2a - 1 $$

$$ -3at^2 = -2a - 1 $$

$$ a(3t^2 - 2) = 1 $$

これらは解法1で導出した条件式と全く同じである。以降の計算過程も解法1と同様になり、同一の答えを得る。

解説

接線に関する標準的な問題である。「接点を $(t, f(t))$ とおいて接線の方程式を作り、与えられた直線と係数比較する」のが最も確実な処理である。解法2のように「連立して重解条件」と捉えることも可能であるが、3次方程式の重解条件は因数定理と恒等式の考え方を正しく用いる必要があり、計算ミスを誘発しやすい。

途中の $t$ に関する3次方程式の解き方や、$t = 1 \pm \sqrt{3}$ という無理数の解を $a = \frac{1}{t^3}$ に代入する際の「次数下げ」の計算が、スムーズに答えを導くための鍵となる。