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東北大学 1967年文系第5問解説

方針・初手

半角の公式と2倍角の公式を用いて、与えられた $f(x)$ と $g(x)$ の式の角度を $\frac{x}{2}$ に統一し、$t = \sin \frac{x}{2}$ と置換することで、三角関数を含まない多項式の問題に帰着させる。$f(x)$ の変形において $\sqrt{X^2} = |X|$ となることに注意し、$t$ の符号による場合分けを行う。

解法1

半角の公式 $1 - \cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2}$ より、

$$ f(x) = \sqrt{2 \sin^2 \frac{x}{2}} = \sqrt{2} \left| \sin \frac{x}{2} \right| $$

となる。

また、2倍角の公式 $\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$ より、

$$ g(x) = \sqrt{2} \left( 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} \right) \cos \frac{x}{2} = 2\sqrt{2} \sin \frac{x}{2} \cos^2 \frac{x}{2} $$

さらに $\cos^2 \frac{x}{2} = 1 - \sin^2 \frac{x}{2}$ を用いると、

$$ g(x) = 2\sqrt{2} \sin \frac{x}{2} \left( 1 - \sin^2 \frac{x}{2} \right) $$

となる。

ここで、$t = \sin \frac{x}{2}$ とおく。 $-\pi \leqq x \leqq \pi$ より $-\frac{\pi}{2} \leqq \frac{x}{2} \leqq \frac{\pi}{2}$ であるから、$-1 \leqq t \leqq 1$ である。 $f(x)$ と $g(x)$ を $t$ を用いて表すと、

$$ \begin{aligned} f(x) &= \sqrt{2} |t| \\ g(x) &= 2\sqrt{2} t (1 - t^2) \end{aligned} $$

となる。

(1) $f(x) > g(x)$ より、

$$ \sqrt{2} |t| > 2\sqrt{2} t (1 - t^2) $$

すなわち

$$ |t| > 2t(1 - t^2) $$

(i) $0 \leqq t \leqq 1$ のとき $|t| = t$ であるから、不等式は

$$ t > 2t(1 - t^2) $$

$$ 2t^3 - t > 0 $$

$$ t(2t^2 - 1) > 0 $$

$t \geqq 0$ であるから、これを満たす条件は $t > 0$ かつ $2t^2 - 1 > 0$ である。

$$ t^2 > \frac{1}{2} $$

$t > 0$ より $t > \frac{1}{\sqrt{2}}$ となる。$0 \leqq t \leqq 1$ とあわせて、

$$ \frac{1}{\sqrt{2}} < t \leqq 1 $$

$t = \sin \frac{x}{2}$ より、

$$ \frac{1}{\sqrt{2}} < \sin \frac{x}{2} \leqq 1 $$

$0 \leqq \frac{x}{2} \leqq \frac{\pi}{2}$ の範囲においてこれを解くと、

$$ \frac{\pi}{4} < \frac{x}{2} \leqq \frac{\pi}{2} $$

ゆえに

$$ \frac{\pi}{2} < x \leqq \pi $$

(ii) $-1 \leqq t < 0$ のとき $|t| = -t$ であるから、不等式は

$$ -t > 2t(1 - t^2) $$

$$ 2t^3 - 3t > 0 $$

$$ t(2t^2 - 3) > 0 $$

$t < 0$ であるから、これを満たす条件は $2t^2 - 3 < 0$ である。

$$ t^2 < \frac{3}{2} $$

$$ -\sqrt{\frac{3}{2}} < t < \sqrt{\frac{3}{2}} $$

$-1 \leqq t < 0$ の範囲のすべての $t$ がこれを満たす。すなわち、

$$ -1 \leqq t < 0 $$

$t = \sin \frac{x}{2}$ より、

$$ -1 \leqq \sin \frac{x}{2} < 0 $$

$-\frac{\pi}{2} \leqq \frac{x}{2} < 0$ の範囲においてこれを解くと、

$$ -\frac{\pi}{2} \leqq \frac{x}{2} < 0 $$

ゆえに

$$ -\pi \leqq x < 0 $$

(i), (ii) より、求める $x$ の範囲は

$$ -\pi \leqq x < 0, \quad \frac{\pi}{2} < x \leqq \pi $$

(2) $h(t) = f(x) - g(x) = \sqrt{2} |t| - 2\sqrt{2} t (1 - t^2)$ とおく。（$-1 \leqq t \leqq 1$） $t$ の範囲で場合分けして $h(t)$ の増減を調べる。

(i) $0 \leqq t \leqq 1$ のとき $|t| = t$ より、

$$ \begin{aligned} h(t) &= \sqrt{2} t - 2\sqrt{2} t (1 - t^2) \\ &= 2\sqrt{2} t^3 - \sqrt{2} t \end{aligned} $$

微分すると、

$$ h'(t) = 6\sqrt{2} t^2 - \sqrt{2} = \sqrt{2}(6t^2 - 1) $$

$0 \leqq t \leqq 1$ において $h'(t) = 0$ となるのは $t = \frac{1}{\sqrt{6}}$ のときである。この範囲での増減表は以下のようになる。

$t$	$0$	$\cdots$	$\frac{1}{\sqrt{6}}$	$\cdots$	$1$
$h'(t)$		$-$	$0$	$+$
$h(t)$	$0$	$\searrow$	極小	$\nearrow$	$\sqrt{2}$

したがって、この範囲での $h(t)$ の最大値は $t=1$ のとき $\sqrt{2}$ である。

(ii) $-1 \leqq t < 0$ のとき $|t| = -t$ より、

$$ \begin{aligned} h(t) &= -\sqrt{2} t - 2\sqrt{2} t (1 - t^2) \\ &= 2\sqrt{2} t^3 - 3\sqrt{2} t \end{aligned} $$

微分すると、

$$ h'(t) = 6\sqrt{2} t^2 - 3\sqrt{2} = 3\sqrt{2}(2t^2 - 1) $$

$-1 \leqq t < 0$ において $h'(t) = 0$ となるのは $t = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ のときである。この範囲での増減表は以下のようになる。

$t$	$-1$	$\cdots$	$-\frac{1}{\sqrt{2}}$	$\cdots$	$0$
$h'(t)$		$+$	$0$	$-$
$h(t)$	$\sqrt{2}$	$\nearrow$	$2$	$\searrow$	$0$

極大値は $h\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 2\sqrt{2} \left(-\frac{1}{2\sqrt{2}}\right) - 3\sqrt{2} \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = -1 + 3 = 2$ となる。したがって、この範囲での $h(t)$ の最大値は $t = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき $2$ である。

(i), (ii) より、$-1 \leqq t \leqq 1$ 全体を通した $h(t)$ の最大値は $2$ である。このとき $t = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ であり、$t = \sin \frac{x}{2}$ に代入すると、

$$ \sin \frac{x}{2} = -\frac{1}{\sqrt{2}} $$

$-\frac{\pi}{2} \leqq \frac{x}{2} \leqq \frac{\pi}{2}$ の範囲においてこれを解くと、

$$ \frac{x}{2} = -\frac{\pi}{4} $$

$$ x = -\frac{\pi}{2} $$

解説

三角関数の種類の統一と角度の統一を行う典型問題である。半角の公式を用いて $1 - \cos x$ を $\sin \frac{x}{2}$ の平方の形に変形できるかが第一の関門となる。この際、$\sqrt{X^2} = |X|$ の関係を用いて絶対値記号をつけることを忘れないように注意が必要である。その後は置換によって三次関数の増減と不等式の問題に帰着されるが、絶対値を外すために置換した文字 $t$ の符号で場合分けをすることが求められる。