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東北大学 1964年理系第5問解説

方針・初手

与えられた関数の式を、加法定理と2倍角の公式を用いて計算しやすい形に変形してから微分します。そのまま商の微分法を用いると計算が非常に煩雑になります。また、分母が $0$ になる $x$ の値が定義域から除外されることに注意し、それらの点での極限を調べて漸近線を求めます。

解法1

関数 $y$ の分母が $0$ にならないことが条件であるため、$0 < x < 2\pi$ において $\sin 2x \neq 0$ となります。これより、$2x \neq \pi, 2\pi, 3\pi$ すなわち $x \neq \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}$ が関数の定義される範囲です。

与式分子の $\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$ を加法定理で展開し、分母を2倍角の公式で展開して式を整理します。

$$ \begin{aligned} y &= \frac{2\sqrt{2}\left(\sin x \cos \frac{\pi}{4} + \cos x \sin \frac{\pi}{4}\right)}{2 \sin x \cos x} \\ &= \frac{2\sqrt{2}\left(\sin x \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \cos x \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\right)}{2 \sin x \cos x} \\ &= \frac{2(\sin x + \cos x)}{2 \sin x \cos x} \\ &= \frac{\sin x + \cos x}{\sin x \cos x} \\ &= \frac{1}{\cos x} + \frac{1}{\sin x} \end{aligned} $$

この式を $x$ で微分します。

$$ \begin{aligned} y' &= \left( (\cos x)^{-1} \right)' + \left( (\sin x)^{-1} \right)' \\ &= -(\cos x)^{-2}(-\sin x) - (\sin x)^{-2}(\cos x) \\ &= \frac{\sin x}{\cos^2 x} - \frac{\cos x}{\sin^2 x} \\ &= \frac{\sin^3 x - \cos^3 x}{\sin^2 x \cos^2 x} \end{aligned} $$

$y' = 0$ となる $x$ を求めます。定義域内で $\sin^2 x \cos^2 x > 0$ であるため、分子について考えます。

$$ \sin^3 x - \cos^3 x = 0 $$

$$ \sin^3 x = \cos^3 x $$

もし $\cos x = 0$ とすると $\sin x = 0$ となり $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ に矛盾するため、$\cos x \neq 0$ です。両辺を $\cos^3 x$ で割ります。

$$ \tan^3 x = 1 $$

実数の範囲で $\tan x = 1$ となります。定義域内の解は $x = \frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}$ です。

次に、$y'$ の符号を調べます。$y'$ の符号は $\sin^3 x - \cos^3 x$ の符号と一致します。

$0 < x < \frac{\pi}{4}$、$ \frac{5\pi}{4} < x < \frac{3\pi}{2}$、$\frac{3\pi}{2} < x < 2\pi$ のとき $\sin x < \cos x$ より $y' < 0$
$\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2}$、$\frac{\pi}{2} < x < \pi$、$\pi < x < \frac{5\pi}{4}$ のとき $\sin x > \cos x$ より $y' > 0$

極限を調べます。

$$ \lim_{x \to +0} y = \infty, \quad \lim_{x \to 2\pi-0} y = -\infty $$

$$ \lim_{x \to \frac{\pi}{2}-0} y = \infty, \quad \lim_{x \to \frac{\pi}{2}+0} y = -\infty $$

$$ \lim_{x \to \pi-0} y = \infty, \quad \lim_{x \to \pi+0} y = -\infty $$

$$ \lim_{x \to \frac{3\pi}{2}-0} y = -\infty, \quad \lim_{x \to \frac{3\pi}{2}+0} y = \infty $$

以上より、増減表は次のようになります。

$x$	$(0)$	$\cdots$	$\frac{\pi}{4}$	$\cdots$	$\left(\frac{\pi}{2}\right)$	$\cdots$	$(\pi)$	$\cdots$	$\frac{5\pi}{4}$	$\cdots$	$\left(\frac{3\pi}{2}\right)$	$\cdots$	$(2\pi)$
$y'$		$-$	$0$	$+$		$+$		$+$	$0$	$-$		$-$
$y$	$(\infty)$	$\searrow$	$2\sqrt{2}$	$\nearrow$		$\nearrow$		$\nearrow$	$-2\sqrt{2}$	$\searrow$		$\searrow$	$(-\infty)$

（※表中の区切り部分は関数の定義されない点であり、その前後の極限により漸近線を持ちます。）

解説

そのまま商の微分を適用すると計算量が膨大になり、ミスを誘発しやすい問題です。三角関数の加法定理や2倍角の公式を用いて、$y = \frac{1}{\cos x} + \frac{1}{\sin x}$ という非常にシンプルな形に還元できるかが最大のポイントです。また、分母の $\sin 2x = 0$ となる点（$x = \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}$）が定義域から除外されることに注意し、それらの点での側極限を丁寧に調べることで正しいグラフの概形を捉えることができます。