トップ› 東北大学› 1969年› 文系第4問

東北大学 1969年文系第4問解説

方針・初手

(1) 与えられた2つの等式から共通するベクトル $\overrightarrow{OA}$ を消去し、点 $B, C, D, E$ の位置ベクトルに関する関係式を導きます。ベクトルの差分から、特定の2つの辺ベクトルが等しいことを示します。

(2) (1)で求めた図形がひし形になるための条件を考えます。平行四辺形がひし形になるための必要十分条件として「隣り合う2辺の長さが等しい」または「2つの対角線が直交する」のいずれかを利用して立式します。

解法1

(1)

与えられた2つの条件式を次のように置く。

$$ 2\overrightarrow{OA} + 4\overrightarrow{OC} = 3(\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD}) \quad \cdots \text{①} $$

$$ 2\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = 3\overrightarrow{OE} \quad \cdots \text{②} $$

① $-$ ② より $2\overrightarrow{OA}$ を消去すると、

$$ 3\overrightarrow{OC} = 3\overrightarrow{OB} + 3\overrightarrow{OD} - 3\overrightarrow{OE} $$

両辺を $3$ で割ると、

$$ \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OE} $$

項を移項して整理すると、

$$ \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OE} $$

ベクトルの減法の定義より、この式は次のように書き換えられる。

$$ \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{ED} $$

向かい合う1組の対辺が平行で、かつ長さが等しいことを示しているため、4角形 $BCDE$ は平行四辺形である。

(2)

(1)より、4角形 $BCDE$ は平行四辺形である。平行四辺形がひし形になるための必要十分条件は、その2つの対角線が直交することである。すなわち、対角線ベクトル $\overrightarrow{BD}$ と $\overrightarrow{CE}$ の内積が $0$ になればよいので、

$$ \overrightarrow{CE} \cdot \overrightarrow{BD} = 0 $$

ここで、$\overrightarrow{CE}$ および $\overrightarrow{BD}$ を $\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC}$ を用いて表す。 ②より $3\overrightarrow{OE} = 2\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC}$ であるから、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{CE} &= \overrightarrow{OE} - \overrightarrow{OC} \\ &= \frac{1}{3}(2\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC}) - \overrightarrow{OC} \\ &= \frac{2}{3}\overrightarrow{OA} - \frac{2}{3}\overrightarrow{OC} \\ &= \frac{2}{3}(\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OC}) \end{aligned} $$

①より $3\overrightarrow{OD} = 2\overrightarrow{OA} + 4\overrightarrow{OC} - 3\overrightarrow{OB}$ であるから、

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{BD} &= \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OB} \\ &= \frac{1}{3}(2\overrightarrow{OA} + 4\overrightarrow{OC} - 3\overrightarrow{OB}) - \overrightarrow{OB} \\ &= \frac{2}{3}\overrightarrow{OA} + \frac{4}{3}\overrightarrow{OC} - 2\overrightarrow{OB} \\ &= \frac{2}{3}(\overrightarrow{OA} - 3\overrightarrow{OB} + 2\overrightarrow{OC}) \end{aligned} $$

したがって、$\overrightarrow{CE} \cdot \overrightarrow{BD} = 0$ にこれらを代入すると、

$$ \frac{2}{3}(\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OC}) \cdot \frac{2}{3}(\overrightarrow{OA} - 3\overrightarrow{OB} + 2\overrightarrow{OC}) = 0 $$

両辺に $\frac{9}{4}$ を掛けて整理すると、求める条件式は次のようになる。

$$ (\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OC}) \cdot (\overrightarrow{OA} - 3\overrightarrow{OB} + 2\overrightarrow{OC}) = 0 $$

解法2

(2)の別解として、「隣り合う2辺の長さが等しい」という条件から導出する方法を示す。

平行四辺形 $BCDE$ がひし形になるための必要十分条件は、$|\overrightarrow{BC}| = |\overrightarrow{BE}|$ である。両辺は正であるから、2乗して $|\overrightarrow{BC}|^2 = |\overrightarrow{BE}|^2$ としてよい。

辺ベクトルは次のように表される。

$$ \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB} $$

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{BE} &= \overrightarrow{OE} - \overrightarrow{OB} \\ &= \frac{1}{3}(2\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC}) - \overrightarrow{OB} \\ &= \frac{1}{3}(2\overrightarrow{OA} - 3\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}) \end{aligned} $$

これらを $|\overrightarrow{BC}|^2 = |\overrightarrow{BE}|^2$ に代入する。

$$ |\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB}|^2 = \frac{1}{9}|2\overrightarrow{OA} - 3\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}|^2 $$

両辺に $9$ を掛けて展開する。左辺は、

$$ 9(|\overrightarrow{OC}|^2 - 2\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC} + |\overrightarrow{OB}|^2) $$

右辺は、

$$ 4|\overrightarrow{OA}|^2 + 9|\overrightarrow{OB}|^2 + |\overrightarrow{OC}|^2 - 12\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB} - 6\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC} + 4\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC} $$

これらが等しいので、

$$ 9|\overrightarrow{OC}|^2 - 18\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC} + 9|\overrightarrow{OB}|^2 = 4|\overrightarrow{OA}|^2 + 9|\overrightarrow{OB}|^2 + |\overrightarrow{OC}|^2 - 12\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB} - 6\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC} + 4\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC} $$

項を一方に集めて整理する。

$$ 4|\overrightarrow{OA}|^2 - 12\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB} + 4\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC} + 12\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC} - 8|\overrightarrow{OC}|^2 = 0 $$

両辺を $4$ で割る。

$$ |\overrightarrow{OA}|^2 - 3\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC} + 3\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC} - 2|\overrightarrow{OC}|^2 = 0 $$

この式を因数分解して内積の形にまとめる。

$$ \overrightarrow{OA}\cdot(\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OC}) - 3\overrightarrow{OB}\cdot(\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OC}) + 2\overrightarrow{OC}\cdot(\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OC}) = 0 $$

$$ (\overrightarrow{OA} - 3\overrightarrow{OB} + 2\overrightarrow{OC}) \cdot (\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OC}) = 0 $$

以上により、求める条件式が得られる。

解説

平面図形の形状決定問題においては、基準点（本問では点 $O$）からの位置ベクトルを用いて辺ベクトルや対角線ベクトルを表すことが基本となります。

(1)では、与えられた2つの関係式から特定の文字を消去し、四角形の頂点だけの関係式を導く方針が有効です。ここでは $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{ED}$ を導きましたが、$\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{BE}$ や対角線の中点の一致を示す方針でも証明可能です。

(2)では「平行四辺形がひし形になる条件」を立式します。「隣り合う2辺の長さが等しい」または「対角線が直交する」のいずれかを用いますが、ベクトルにおいては「内積が $0$ になる」ことを利用した方が、展開の手間が省け計算ミスを減らしやすくなります。展開した式である $|\overrightarrow{OA}|^2 - 3\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC} + 3\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC} - 2|\overrightarrow{OC}|^2 = 0$ を解答としても数学的に正しいですが、因数分解された形の方が式の意味が明確になります。