東北大学 1969年 文系 第5問 解説

方針・初手

被積分関数に含まれる絶対値を外すことから始める。被積分関数 $y = (x-a)(x-3a)$ は $x=a$ と $x=3a$ で符号が変化するため、積分区間 $[0, 1]$ と $a$、$3a$ の位置関係によって場合分けが必要になる。$0 \leqq a \leqq 1$ という条件から $a$ は常に積分区間内に含まれるが、$3a$ は $1$ より大きくなる可能性があるため、$3a \leqq 1$ と $3a > 1$ で場合分けを行う。

その後は各区間における $f(a)$ を計算し、それぞれの式を $a$ で微分して増減表を作成し、最大値・最小値を求めるという定石通りの手順を踏む。

解法1

(1)

$g(x) = (x-a)(x-3a)$ とおく。$0 \leqq a \leqq 1$ であるから $0 \leqq a \leqq 3a$ が成り立つ。 $g(x) = 0$ となるのは $x = a, 3a$ のときであり、絶対値記号の中身の符号は以下のようになる。 $x \leqq a$ のとき $g(x) \geqq 0$ $a \leqq x \leqq 3a$ のとき $g(x) \leqq 0$ $3a \leqq x$ のとき $g(x) \geqq 0$

$a \leqq 1$ は常に成り立つため、積分区間の上限 $1$ と $3a$ の大小関係によって場合分けを行う。

(i) $3a \leqq 1$ すなわち $0 \leqq a \leqq \frac{1}{3}$ のとき

区間 $[0, 1]$ は $0 \leqq x \leqq a$、$a \leqq x \leqq 3a$、$3a \leqq x \leqq 1$ の3つの区間に分割される。

$$ \begin{aligned} f(a) &= \int_{0}^{a} g(x) dx - \int_{a}^{3a} g(x) dx + \int_{3a}^{1} g(x) dx \end{aligned} $$

ここで、不定積分 $\int g(x) dx$ を計算する。

$$ \begin{aligned} \int (x-a)(x-3a) dx &= \int (x^2 - 4ax + 3a^2) dx \\ &= \frac{1}{3}x^3 - 2ax^2 + 3a^2 x + C \quad (C\text{ は積分定数}) \end{aligned} $$

$G(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2ax^2 + 3a^2 x$ とすると、$f(a) = \left[ G(x) \right]_{0}^{a} - \left[ G(x) \right]_{a}^{3a} + \left[ G(x) \right]_{3a}^{1} = 2G(a) - 2G(3a) + G(1) - G(0)$ となる。 それぞれ値を代入すると、

$$ \begin{aligned} G(a) &= \frac{1}{3}a^3 - 2a^3 + 3a^3 = \frac{4}{3}a^3 \\ G(3a) &= \frac{1}{3}(27a^3) - 2a(9a^2) + 3a^2(3a) = 9a^3 - 18a^3 + 9a^3 = 0 \\ G(1) &= \frac{1}{3} - 2a + 3a^2 \\ G(0) &= 0 \end{aligned} $$

したがって、このときの $f(a)$ は以下のように求まる。

$$ \begin{aligned} f(a) &= 2 \left( \frac{4}{3}a^3 \right) - 0 + \left( \frac{1}{3} - 2a + 3a^2 \right) - 0 \\ &= \frac{8}{3}a^3 + 3a^2 - 2a + \frac{1}{3} \end{aligned} $$

(ii) $3a > 1$ すなわち $\frac{1}{3} < a \leqq 1$ のとき

区間 $[0, 1]$ において、$3a$ は積分区間の外にあるため、区間は $0 \leqq x \leqq a$ と $a \leqq x \leqq 1$ の2つに分割される。

$$ \begin{aligned} f(a) &= \int_{0}^{a} g(x) dx - \int_{a}^{1} g(x) dx \\ &= \left[ G(x) \right]_{0}^{a} - \left[ G(x) \right]_{a}^{1} \\ &= 2G(a) - G(1) - G(0) \end{aligned} $$

(i) で求めた $G(x)$ の値を用いると、

$$ \begin{aligned} f(a) &= 2 \left( \frac{4}{3}a^3 \right) - \left( \frac{1}{3} - 2a + 3a^2 \right) \\ &= \frac{8}{3}a^3 - 3a^2 + 2a - \frac{1}{3} \end{aligned} $$

以上より、$f(a)$ は次のように求められる。

$$ \begin{cases} f(a) = \frac{8}{3}a^3 + 3a^2 - 2a + \frac{1}{3} & \left(0 \leqq a \leqq \frac{1}{3}\right) \\ f(a) = \frac{8}{3}a^3 - 3a^2 + 2a - \frac{1}{3} & \left(\frac{1}{3} < a \leqq 1\right) \end{cases} $$

(2)

(1) で求めた $f(a)$ の各区間における増減を調べる。

(i) $0 \leqq a \leqq \frac{1}{3}$ のとき

$$ \begin{aligned} f'(a) &= 8a^2 + 6a - 2 \\ &= 2(4a^2 + 3a - 1) \\ &= 2(4a - 1)(a + 1) \end{aligned} $$

$0 \leqq a \leqq \frac{1}{3}$ において $f'(a) = 0$ となるのは $a = \frac{1}{4}$ のときである。

(ii) $\frac{1}{3} < a \leqq 1$ のとき

$$ \begin{aligned} f'(a) &= 8a^2 - 6a + 2 \\ &= 2(4a^2 - 3a + 1) \end{aligned} $$

ここで、$4a^2 - 3a + 1 = 0$ の判別式を $D$ とすると、$D = (-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 9 - 16 = -7 < 0$ である。 したがって、すべての実数 $a$ に対して $4a^2 - 3a + 1 > 0$ であり、この区間において常に $f'(a) > 0$ となる。すなわち、$f(a)$ は単調に増加する。

以上から、$0 \leqq a \leqq 1$ における $f(a)$ の増減表は以下のようになる。

増減表に現れる極小値および端点の値をそれぞれ計算する。

$a = \frac{1}{4}$ のとき

$$ \begin{aligned} f\left(\frac{1}{4}\right) &= \frac{8}{3}\left(\frac{1}{64}\right) + 3\left(\frac{1}{16}\right) - 2\left(\frac{1}{4}\right) + \frac{1}{3} \\ &= \frac{1}{24} + \frac{3}{16} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \\ &= \frac{2 + 9 - 24 + 16}{48} \\ &= \frac{3}{48} = \frac{1}{16} \end{aligned} $$

$a = 1$ のとき

$$ \begin{aligned} f(1) &= \frac{8}{3}(1)^3 - 3(1)^2 + 2(1) - \frac{1}{3} \\ &= \frac{8}{3} - 3 + 2 - \frac{1}{3} \\ &= \frac{7}{3} - 1 = \frac{4}{3} \end{aligned} $$

$a = 0$ のとき $f(0) = \frac{1}{3}$

増減表より、$f(a)$ は $a = 1$ で最大値、 $a = \frac{1}{4}$ で最小値をとる。

解説

絶対値を含む定積分関数の最大・最小を求める典型的な問題である。被積分関数の符号が変わる点を特定し、積分区間との関係で場合分けをすることが最初の関門となる。

定積分の計算においては、$\int_{a}^{3a} (x-a)(x-3a) dx = -\frac{1}{6}(3a-a)^3$ となるいわゆる「$\frac{1}{6}$公式」を用いたり、不定積分 $G(x)$ を求めてから代入計算を整理する工夫（本解説の解法1のアプローチ）などを取り入れると、符号ミスや計算ミスを減らすことができる。特に $G(3a)=0$ となることを見抜けると、計算量が大幅に軽減される。

微分の際は各場合分けの区間で関数が変わるため、それぞれの式で導関数を求め、必要に応じて判別式などを用いて常に正や常に負となることを確認する。

答え

(1) $0 \leqq a \leqq \frac{1}{3}$ のとき $f(a) = \frac{8}{3}a^3 + 3a^2 - 2a + \frac{1}{3}$ $\frac{1}{3} < a \leqq 1$ のとき $f(a) = \frac{8}{3}a^3 - 3a^2 + 2a - \frac{1}{3}$

(2) 最大値 $\frac{4}{3}$ （$a=1$ のとき） 最小値 $\frac{1}{16}$ （$a=\frac{1}{4}$ のとき）