東北大学 1980年 文系 第1問 解説

方針・初手

$(1,2),(2,1)$ の像が分かっているので、行列 $A$ の列ベクトルを連立方程式で決める。

その後、円の像を調べるには $A^TA$ を見るのが有効である。$A^TA$ が単位行列の定数倍になれば、長さが一定倍率で変わるだけなので、円は再び円にうつる。

解法1

$A$ の列ベクトルを

$$ A= \begin{pmatrix} 1列目 & 2列目 \end{pmatrix} ============= \begin{pmatrix} \boldsymbol{u} & \boldsymbol{v} \end{pmatrix} $$

と考える。すると

$$ A \begin{pmatrix} 1\ 2 \end{pmatrix} =\boldsymbol{u}+2\boldsymbol{v} =============================== \begin{pmatrix} 5\ 0 \end{pmatrix}, \qquad A \begin{pmatrix} 2\ 1 \end{pmatrix} =2\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v} =============================== \begin{pmatrix} 4\ 3 \end{pmatrix} $$

である。

よって

$$ \boldsymbol{u}+2\boldsymbol{v}= \begin{pmatrix} 5\ 0 \end{pmatrix}, \qquad 2\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}= \begin{pmatrix} 4\ 3 \end{pmatrix} $$

を解けばよい。

第1式から

$$ \boldsymbol{u}= \begin{pmatrix} 5\ 0 \end{pmatrix} -2\boldsymbol{v} $$

であるから、これを第2式に代入すると

$$ 2\left( \begin{pmatrix} 5\ 0 \end{pmatrix} -2\boldsymbol{v} \right) +\boldsymbol{v} =============== \begin{pmatrix} 4\ 3 \end{pmatrix} $$

すなわち

$$ \begin{pmatrix} 10\ 0 \end{pmatrix} -3\boldsymbol{v} ================ \begin{pmatrix} 4\ 3 \end{pmatrix} $$

となるので、

$$ -3\boldsymbol{v} ================ \begin{pmatrix} -6\ 3 \end{pmatrix} $$

より

$$ \boldsymbol{v}= \begin{pmatrix} 2\ -1 \end{pmatrix} $$

である。

したがって

$$ \boldsymbol{u} ============== \begin{pmatrix} 5\ 0 \end{pmatrix} -2 \begin{pmatrix} 2\ -1 \end{pmatrix} ============= \begin{pmatrix} 1\ 2 \end{pmatrix} $$

となる。

よって

$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 2\ 2 & -1 \end{pmatrix} $$

である。

次に、この1次変換による単位円の像を調べる。

$$ A^T= \begin{pmatrix} 1 & 2\ 2 & -1 \end{pmatrix} $$

であるから、

$$ A^TA= \begin{pmatrix} 1 & 2\ 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2\ 2 & -1 \end{pmatrix} ============= \begin{pmatrix} 5 & 0\ 0 & 5 \end{pmatrix} =5I $$

となる。

いま、点 $(x,y)$ が単位円

$$ x^2+y^2=1 $$

上にあるとする。この点の像を $(X,Y)=A(x,y)$ とすると、

$$ X^2+Y^2 ======= \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} A^TA \begin{pmatrix} x\ y \end{pmatrix} ============= \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} 5I \begin{pmatrix} x\ y \end{pmatrix} =5(x^2+y^2)=5 $$

となる。

したがって像は

$$ X^2+Y^2=5 $$

で表される図形、すなわち原点を中心とする半径 $\sqrt{5}$ の円である。

解説

2つの1次独立なベクトルの像が分かれば、1次変換は一意に定まる。この問題では $(1,2),(2,1)$ が1次独立なので、それらの像から行列 $A$ を決定できる。

また、円の像を調べるときは $A^TA$ を見るのが典型である。$A^TA=5I$ であることは、この変換が「向きを回転または反転しつつ、長さを $\sqrt{5}$ 倍する変換」であることを意味する。したがって単位円は半径 $\sqrt{5}$ の円にうつる。

答え

$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 2\ 2 & -1 \end{pmatrix} $$

この1次変換によって、原点を中心とする半径1の円は

$$ X^2+Y^2=5 $$

すなわち、原点を中心とする半径 $\sqrt{5}$ の円にうつる。