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東北大学 1980年文系第3問解説

方針・初手

(1) 曲線と直線の式から、交点の $x$ 座標を求める方程式を立てる。3点が直線上で等間隔に並ぶという条件は、それぞれの点の $x$ 座標が等差数列をなすことと同値である点に着目し、解と係数の関係を利用して解く。

(2) 交点の $x$ 座標から積分区間を確定し、曲線と直線の上下関係を調べて定積分を計算する。計算量が多くなりがちなため、平行移動を利用して工夫するとよい。

解法1

(1)

曲線 $C: y = x^3 - 2x^2 + x$ と直線 $y = mx$ の交点の $x$ 座標は、次の方程式の解である。

$$ x^3 - 2x^2 + x = mx $$

整理すると

$$ x(x^2 - 2x + 1 - m) = 0 $$

交点の一つは原点 $O$ であるから、これとは異なる2点 $A, B$ が存在するためには、2次方程式 $x^2 - 2x + 1 - m = 0$ が $0$ 以外の異なる2つの実数解をもつ必要がある。

判別式を $D$ とすると、異なる2つの実数解をもつ条件は

$$ \frac{D}{4} = (-1)^2 - 1 \cdot (1 - m) = m > 0 $$

また、$x=0$ が解にならないための条件は、

$$ 0^2 - 2 \cdot 0 + 1 - m \neq 0 \iff m \neq 1 $$

したがって、$m > 0$ かつ $m \neq 1$ である。

このとき、2次方程式 $x^2 - 2x + 1 - m = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ （$\alpha < \beta$）とすると、点 $A, B$ の $x$ 座標はそれぞれ $\alpha, \beta$ となる。

解と係数の関係より、

$$ \begin{cases} \alpha + \beta = 2 \\ \alpha\beta = 1 - m \end{cases} $$

が成り立つ。

3点 $O, A, B$ はこの順に等間隔に並んでおり、これらは直線 $y = mx$ 上にあるため、それぞれの $x$ 座標 $0, \alpha, \beta$ もこの順に等差数列をなす。

よって、次の関係式が得られる。

$$ 2\alpha = 0 + \beta \iff \beta = 2\alpha $$

これを $\alpha + \beta = 2$ に代入して、

$$ \alpha + 2\alpha = 2 \iff 3\alpha = 2 \iff \alpha = \frac{2}{3} $$

このとき、$\beta = \frac{4}{3}$ となり、$\alpha < \beta$ を満たす。

さらに、これらを $\alpha\beta = 1 - m$ に代入して、

$$ \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} = 1 - m \iff \frac{8}{9} = 1 - m \iff m = \frac{1}{9} $$

これは $m > 0$ かつ $m \neq 1$ を満たしている。

(2)

(1) より、$m = \frac{1}{9}$ であり、点 $A, B$ の $x$ 座標はそれぞれ $\frac{2}{3}, \frac{4}{3}$ である。

曲線 $C$ と線分 $AB$ で囲まれる部分の面積 $S$ は、区間 $\frac{2}{3} \leqq x \leqq \frac{4}{3}$ における定積分となる。

この区間における直線と曲線の上下関係を調べる。

$$ \frac{1}{9}x - (x^3 - 2x^2 + x) = -x \left(x - \frac{2}{3}\right) \left(x - \frac{4}{3}\right) $$

$\frac{2}{3} < x < \frac{4}{3}$ のとき、$x > 0$、$x - \frac{2}{3} > 0$、$x - \frac{4}{3} < 0$ であるから、

$$ -x \left(x - \frac{2}{3}\right) \left(x - \frac{4}{3}\right) > 0 $$

よって、区間 $\frac{2}{3} \leqq x \leqq \frac{4}{3}$ において、直線 $y = \frac{1}{9}x$ が曲線 $C$ の上側にある。

したがって、求める面積 $S$ は、

$$ S = \int_{\frac{2}{3}}^{\frac{4}{3}} \left( -x^3 + 2x^2 - \frac{8}{9}x \right) dx $$

ここで、計算を簡略化するために $x = t + 1$ とおくと、$dx = dt$ であり、積分区間は $-\frac{1}{3} \leqq t \leqq \frac{1}{3}$ となる。

被積分関数は、

$$ \begin{aligned} -(t+1)^3 + 2(t+1)^2 - \frac{8}{9}(t+1) &= -(t^3 + 3t^2 + 3t + 1) + 2(t^2 + 2t + 1) - \frac{8}{9}t - \frac{8}{9} \\ &= -t^3 - t^2 + t + \frac{1}{9} \end{aligned} $$

したがって、偶関数・奇関数の定積分の性質より、

$$ \begin{aligned} S &= \int_{-\frac{1}{3}}^{\frac{1}{3}} \left( -t^3 - t^2 + t + \frac{1}{9} \right) dt \\ &= 2 \int_{0}^{\frac{1}{3}} \left( -t^2 + \frac{1}{9} \right) dt \\ &= 2 \left[ -\frac{1}{3}t^3 + \frac{1}{9}t \right]_{0}^{\frac{1}{3}} \\ &= 2 \left( -\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{27} + \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{3} \right) \\ &= 2 \left( -\frac{1}{81} + \frac{3}{81} \right) \\ &= 2 \cdot \frac{2}{81} \\ &= \frac{4}{81} \end{aligned} $$

解説

(1) は、「直線上の点が等間隔に並ぶ」という図形的な条件を、「$x$ 座標が等差数列をなす」という代数的な条件に読み替えるのがポイントである。これにより、解と係数の関係と組み合わせてスムーズに処理できる。交点が3つ存在するための条件（判別式および $x=0$ が解にならないこと）の確認を忘れないようにしたい。

(2) は、定積分の計算力が問われる。まともに分数を代入して計算すると煩雑になるため、解答のように積分区間が原点対称になるように $x = t + 1$ と平行移動し、奇関数・偶関数の性質を利用すると計算ミスを減らすことができる。