東北大学 1981年 文系 第1問 解説

方針・初手

任意の点 $P$ に対して、像 $Q=f(P)$ が

$$ |OQ|=2|OP| $$

を満たすので、ベクトルでいえば任意の $\boldsymbol{x}$ について

$$ |A\boldsymbol{x}|=2|\boldsymbol{x}| $$

が成り立つことになる。したがって、この変換は「長さを $2$ 倍する変換」であり、行列 $A$ は

$$ A^{\mathrm T}A=4I $$

を満たす。

さらに $f(1,0)=(\sqrt3,-1)$ であるから、行列 $A$ の第1列はただちに分かる。あとは第2列を、長さ条件と直交条件から決めればよい。

解法1

行列 $A$ を

$$ A= \begin{pmatrix} a & b\ c & d \end{pmatrix} $$

とする。

$f(1,0)=(\sqrt3,-1)$ より、

$$ A \begin{pmatrix} 1\ 0 \end{pmatrix} ============= \begin{pmatrix} a\ c \end{pmatrix} ============= \begin{pmatrix} \sqrt3\ -1 \end{pmatrix} $$

である。したがって

$$ a=\sqrt3,\qquad c=-1 $$

となるから、

$$ A= \begin{pmatrix} \sqrt3 & b\ -1 & d \end{pmatrix} $$

である。

ここで、任意のベクトル $\boldsymbol{x}$ に対して $|A\boldsymbol{x}|=2|\boldsymbol{x}|$ が成り立つので、

$$ A^{\mathrm T}A=4I $$

である。

これを用いると、$A$ の列ベクトルはそれぞれ長さ $2$ で、互いに直交する。

第1列ベクトルは

$$ \begin{pmatrix} \sqrt3\ -1 \end{pmatrix} $$

であり、その長さは

$$ \sqrt{(\sqrt3)^2+(-1)^2}=\sqrt4=2 $$

で確かに条件に合う。

第2列ベクトルを

$$ \begin{pmatrix} b\ d \end{pmatrix} $$

とすると、これも長さ $2$ で、第1列と直交するから

$$ \sqrt3,b-d=0 $$

かつ

$$ b^2+d^2=4 $$

を満たす。

前者より

$$ d=\sqrt3,b $$

である。これを後者に代入すると

$$ b^2+3b^2=4 $$

すなわち

$$ 4b^2=4 $$

より

$$ b=\pm1 $$

となる。したがって

$$ d=\pm\sqrt3 $$

であり、符号は同じである。

よって

$$ A= \begin{pmatrix} \sqrt3 & 1\ -1 & \sqrt3 \end{pmatrix} \quad \text{または} \quad A= \begin{pmatrix} \sqrt3 & -1\ -1 & -\sqrt3 \end{pmatrix} $$

である。

解法2

長さをすべて $2$ 倍する線形変換は、「直交変換のあとに倍率 $2$ の拡大を行う変換」とみなせる。したがって

$$ A=2R $$

ただし $R$ は直交行列である。

また

$$ A \begin{pmatrix} 1\ 0 \end{pmatrix} ============= \begin{pmatrix} \sqrt3\ -1 \end{pmatrix} $$

より、

$$ R \begin{pmatrix} 1\ 0 \end{pmatrix} ============= \frac12 \begin{pmatrix} \sqrt3\ -1 \end{pmatrix} ============= \begin{pmatrix} \frac{\sqrt3}{2}\ -\frac12 \end{pmatrix} $$

である。

これは単位ベクトルなので、$R$ の第1列は

$$ \begin{pmatrix} \frac{\sqrt3}{2}\ -\frac12 \end{pmatrix} $$

である。直交行列の第2列は、これに直交する単位ベクトルであるから

$$ \begin{pmatrix} \frac12\ \frac{\sqrt3}{2} \end{pmatrix} \quad \text{または} \quad \begin{pmatrix} -\frac12\ -\frac{\sqrt3}{2} \end{pmatrix} $$

となる。

したがって

$$ R= \begin{pmatrix} \frac{\sqrt3}{2} & \frac12\ -\frac12 & \frac{\sqrt3}{2} \end{pmatrix} \quad \text{または} \quad R= \begin{pmatrix} \frac{\sqrt3}{2} & -\frac12\ -\frac12 & -\frac{\sqrt3}{2} \end{pmatrix} $$

であり、これを $2$ 倍して

$$ A= \begin{pmatrix} \sqrt3 & 1\ -1 & \sqrt3 \end{pmatrix} \quad \text{または} \quad A= \begin{pmatrix} \sqrt3 & -1\ -1 & -\sqrt3 \end{pmatrix} $$

を得る。

解説

条件 $|A\boldsymbol{x}|=2|\boldsymbol{x}|$ が任意の $\boldsymbol{x}$ で成り立つとき、行列の列ベクトルは「長さがすべて $2$ で、互いに直交する」という形になる。ここが本問の核心である。

$f(1,0)$ が与えられることで第1列は確定するが、第2列には直交する向きが2通りある。そのため、条件を満たす行列は1つに定まらず、2通り存在する。

答え

$$ A= \begin{pmatrix} \sqrt3 & 1\ -1 & \sqrt3 \end{pmatrix} \quad \text{または} \quad A= \begin{pmatrix} \sqrt3 & -1\ -1 & -\sqrt3 \end{pmatrix} $$

である。