東北大学 1981年 文系 第2問 解説

方針・初手

最大値・最小値は、端点 $x=0,1$ と、区間内に極値をもつならその点で調べればよい。

したがって、まず導関数

$$ f'(x) $$

の符号を調べ、単調増減を $a$ の値で場合分けする。

解法1

関数

$$ f(x)=-x^3+3ax $$

の導関数は

$$ f'(x)=-3x^2+3a=3(a-x^2) $$

である。

よって、$f'(x)=0$ となるのは

$$ x=\sqrt{a} $$

ただし $a\geqq 0$ のときであり、さらにこれが区間 $0\leqq x\leqq 1$ に入るのは $0\leqq a\leqq 1$ のときである。

以下、$a$ の値で場合分けする。

(i) $a\leqq 0$ のとき

このとき、$0\leqq x\leqq 1$ では $x^2\geqq 0$ であるから

$$ a-x^2\leqq 0 $$

となり、

$$ f'(x)\leqq 0 $$

である。したがって $f(x)$ は区間 $[0,1]$ で単調減少する。

よって、

$$ f(0)=0,\qquad f(1)=-1+3a=3a-1 $$

より、

• 最大値は $0$
• 最小値は $3a-1$

である。

(ii) $0<a<1$ のとき

このとき、$x=\sqrt{a}$ が区間内にある。

さらに、

• $0\leqq x<\sqrt{a}$ では $a-x^2>0$ より $f'(x)>0$
• $\sqrt{a}<x\leqq 1$ では $a-x^2<0$ より $f'(x)<0$

であるから、$f(x)$ は

• $[0,\sqrt{a}]$ で増加
• $[\sqrt{a},1]$ で減少

する。したがって、最大値は $x=\sqrt{a}$ でとる。

その値は

$$ f(\sqrt{a})=-(\sqrt{a})^3+3a\sqrt{a}=-a\sqrt{a}+3a\sqrt{a}=2a\sqrt{a}=2a^{3/2} $$

である。

一方、最小値は端点で比較すればよい。端点の値は

$$ f(0)=0,\qquad f(1)=3a-1 $$

であるから、

• $0<a<\dfrac13$ なら $3a-1<0$ なので最小値は $3a-1$
• $a=\dfrac13$ なら $f(0)=f(1)=0$ なので最小値は $0$
• $\dfrac13<a<1$ なら $3a-1>0$ なので最小値は $0$

となる。

したがって、この場合

• 最大値は $2a^{3/2}$
• 最小値は $$ \begin{cases} 3a-1 & \left(0<a<\dfrac13\right)\ 0 & \left(\dfrac13\leqq a<1\right) \end{cases} $$

である。

(iii) $a\geqq 1$ のとき

このとき、$0\leqq x\leqq 1$ では $x^2\leqq 1\leqq a$ であるから

$$ a-x^2\geqq 0 $$

となり、

$$ f'(x)\geqq 0 $$

である。したがって $f(x)$ は区間 $[0,1]$ で単調増加する。

よって、

$$ f(0)=0,\qquad f(1)=3a-1 $$

より、

• 最小値は $0$
• 最大値は $3a-1$

である。

解説

この問題の要点は、極値候補が端点と $f'(x)=0$ の点に限られることを押さえることである。

導関数 $f'(x)=3(a-x^2)$ の符号は、$a$ と $x^2$ の大小で決まる。したがって、$a$ の値によって

• ずっと減少する場合
• 途中で増加から減少に変わる場合
• ずっと増加する場合

に分かれる。

また、$0<a<1$ のときは最大値は内部の極大点で決まるが、最小値は端点同士の比較になる。このとき $f(0)=0$ と $f(1)=3a-1$ の大小比較を忘れないことが重要である。

答え

最大値・最小値は次の通りである。

$$ \text{最大値}= \begin{cases} 0 & (a\leqq 0)\ 2a^{3/2} & (0<a<1)\ 3a-1 & (a\geqq 1) \end{cases} $$

$$ \text{最小値}= \begin{cases} 3a-1 & \left(a<\dfrac13\right)\ 0 & \left(a\geqq \dfrac13\right) \end{cases} $$

ただし、$0<a<1$ のとき最大値は $x=\sqrt{a}$ でとり、$a\leqq 0$ では最大値は $x=0$、$a\geqq 1$ では最大値は $x=1$ でとる。最小値については、$a<\dfrac13$ では $x=1$、$a\geqq \dfrac13$ では $x=0$ でとる。