東北大学 1985年 文系 第4問 解説

方針・初手

$l_1,\ l_2$ 上の点をそれぞれ媒介変数で表し，それらと $P(t,0,0)$ が一直線上にある条件を用いて，直線 $g$ を決定する。

そのうえで，交点を $Q,\ R$ とするときの $QR$ を $t$ の式で表し，最小値を求める。

解法1

$l_1,\ l_2$ をそれぞれ

$$ Q=(2a,\ a,\ a+1),\qquad R=(-b,\ b,\ b-1) $$

とおく。

ここで $Q\in l_1,\ R\in l_2$ であり，$P,\ Q,\ R$ は一直線上にあるから，ある実数 $k$ を用いて

$$ \overrightarrow{PQ}=k\overrightarrow{PR} $$

と書ける。

すなわち

$$ (2a-t,\ a,\ a+1)=k(-b-t,\ b,\ b-1) $$

である。

座標ごとに比較すると，

$$ a=kb,\qquad a+1=k(b-1) $$

を得る。これらを引くと

$$ 1=-k $$

より

$$ k=-1 $$

である。したがって

$$ a=-b $$

となる。

さらに $x$ 座標を比較すると，

$$ 2a-t=-1\cdot(-b-t)=b+t $$

であり，$b=-a$ を代入して

$$ 2a-t=-a+t $$

すなわち

$$ 3a=2t $$

だから，

$$ a=\frac{2t}{3},\qquad b=-\frac{2t}{3} $$

となる。

よって

$$ Q=\left(\frac{4t}{3},\ \frac{2t}{3},\ \frac{2t}{3}+1\right),\qquad R=\left(\frac{2t}{3},\ -\frac{2t}{3},\ -\frac{2t}{3}-1\right) $$

である。

したがって

$$ \overrightarrow{PQ} =================== # \left(\frac{t}{3},\ \frac{2t}{3},\ \frac{2t}{3}+1\right) \frac13(t,\ 2t,\ 2t+3) $$

より，直線 $g$ は

$$ (x,\ y,\ z)=(t,\ 0,\ 0)+\lambda (t,\ 2t,\ 2t+3)\qquad (\lambda\in\mathbb R) $$

と表される。

次に $QR$ を求める。

先ほど $k=-1$ であったから，

$$ \overrightarrow{PQ}=-\overrightarrow{PR} $$

であり，$P$ は線分 $QR$ の中点である。したがって

$$ QR=2,PQ $$

である。

ここで

$$ PQ^2= \left(\frac{t}{3}\right)^2+ \left(\frac{2t}{3}\right)^2+ \left(\frac{2t}{3}+1\right)^2 $$

より，

$$ \begin{aligned} PQ^2 &=\frac{t^2}{9}+\frac{4t^2}{9}+\left(\frac{4t^2}{9}+\frac{4t}{3}+1\right)\\ &=t^2+\frac{4t}{3}+1\\ &=\left(t+\frac23\right)^2+\frac59. \end{aligned} $$

したがって

$$ QR =2\sqrt{\left(t+\frac23\right)^2+\frac59}. $$

よって最小値は

$$ t=-\frac23 $$

のときにとり，

$$ QR_{\min}=2\sqrt{\frac59}=\frac{2\sqrt5}{3} $$

である。

解説

この問題の本質は，$l_1,\ l_2$ 上の点を媒介変数で表して，$P,\ Q,\ R$ が一直線上にある条件をベクトルで処理することである。

途中で $\overrightarrow{PQ}=-\overrightarrow{PR}$ が出るため，$P$ が常に $QR$ の中点になることが分かる。ここに気づくと，$QR$ を直接計算するよりも $PQ$ を使ったほうが計算が簡潔になる。

答え

$$ g:\ (x,\ y,\ z)=(t,\ 0,\ 0)+\lambda (t,\ 2t,\ 2t+3)\qquad (\lambda\in\mathbb R) $$

また，

$$ QR=2\sqrt{\left(t+\frac23\right)^2+\frac59} $$

であるから，

$$ QR_{\min}=\frac{2\sqrt5}{3} $$

である。