東北大学 1985年 文系 第3問 解説

方針・初手

1回の操作が終わるごとに、容器 $A$ の液量は $6\mathrm{l}$、容器 $B$ の液量は $4\mathrm{l}$ に戻る。したがって、各回ごとの濃度の変化を漸化式で表すのが自然である。

まず $k$ 回操作後の濃度を $a_k%,,b_k%$ とし、次の1回の操作で $a_{k+1},,b_{k+1}$ がどう表されるかを求める。すると差 $b_k-a_k$ の漸化式が簡単に出る。また、全体の食塩の量は保存されるので、その関係と組み合わせれば $a_k,,b_k$ が求まる。

解法1

初期状態を

$$ a_0=a,\qquad b_0=b $$

とする。

$k$ 回操作後、容器 $A$ には濃度 $a_k%$ の食塩水が $6\mathrm{l}$、容器 $B$ には濃度 $b_k%$ の食塩水が $4\mathrm{l}$ 入っている。

まず、容器 $A$ から $1\mathrm{l}$ を容器 $B$ に移す。

このとき容器 $A$ に残る食塩の量は

$$ 5\cdot \frac{a_k}{100} $$

である。

一方、容器 $B$ に入る直前の食塩の量は $4\cdot \dfrac{b_k}{100}$、$A$ から移した $1\mathrm{l}$ に含まれる食塩の量は $\dfrac{a_k}{100}$ であるから、混合後の容器 $B$ の濃度は

$$ \frac{4\cdot \frac{b_k}{100}+\frac{a_k}{100}}{5}\times 100 =\frac{a_k+4b_k}{5} $$

となる。

この混合液を $1\mathrm{l}$ だけ容器 $A$ に戻すので、その $1\mathrm{l}$ の濃度も $\dfrac{a_k+4b_k}{5}%$ である。

したがって、操作後の容器 $A$ に含まれる食塩の量は

$$ 5\cdot \frac{a_k}{100}+\frac{1}{100}\cdot \frac{a_k+4b_k}{5} =\frac{26a_k+4b_k}{5\cdot 100} $$

であるから、

$$ a_{k+1} =\frac{1}{6}\cdot \frac{26a_k+4b_k}{5} =\frac{13a_k+2b_k}{15} $$

を得る。

また、容器 $B$ は混合後に $1\mathrm{l}$ 取り出しても濃度は変わらないので、

$$ b_{k+1}=\frac{a_k+4b_k}{5} $$

である。

以上より、

$$ \begin{cases} a_{k+1}=\dfrac{13a_k+2b_k}{15},[4pt] b_{k+1}=\dfrac{a_k+4b_k}{5} \end{cases} $$

を得る。

次に、差 $d_k=b_k-a_k$ とおくと、

$$ \begin{aligned} d_{k+1} &=b_{k+1}-a_{k+1}\ &=\frac{a_k+4b_k}{5}-\frac{13a_k+2b_k}{15}\ &=\frac{3a_k+12b_k-13a_k-2b_k}{15}\ &=\frac{10(b_k-a_k)}{15}\ &=\frac{2}{3}d_k \end{aligned} $$

となる。したがって $d_k$、すなわち $b_k-a_k$ は初項 $b-a$、公比 $\dfrac23$ の等比数列であり、

$$ b_k-a_k=\left(\frac23\right)^k(b-a) $$

である。

次に、全体の食塩の量は操作によって変わらない。初めの全食塩量は

$$ 6\cdot \frac{a}{100}+4\cdot \frac{b}{100} $$

であり、$k$ 回後も

$$ 6\cdot \frac{a_k}{100}+4\cdot \frac{b_k}{100} $$

に等しいから、

$$ 6a_k+4b_k=6a+4b $$

すなわち

$$ 3a_k+2b_k=3a+2b $$

が成り立つ。

ここで

$$ b_k=a_k+\left(\frac23\right)^k(b-a) $$

を代入すると、

$$ 3a_k+2\left{a_k+\left(\frac23\right)^k(b-a)\right}=3a+2b $$

より

$$ 5a_k=3a+2b-2\left(\frac23\right)^k(b-a) $$

したがって

$$ a_k=\frac{3a+2b-2\left(\frac23\right)^k(b-a)}{5} $$

である。

さらに

$$ b_k=a_k+\left(\frac23\right)^k(b-a) $$

より、

$$ b_k=\frac{3a+2b+3\left(\frac23\right)^k(b-a)}{5} $$

となる。

解説

この問題の要点は、1回の操作全体を見て $a_{k+1},,b_{k+1}$ を正確に書くことである。特に、容器 $B$ でよく混ぜた後に $1\mathrm{l}$ 戻すので、戻す液の濃度は混合後の容器 $B$ の濃度そのものである点が重要である。

また、差 $b_k-a_k$ を見ると等比的に減少し、全体の食塩量保存 と組み合わせることで $a_k,,b_k$ が一意に決まる。この2本立てが典型的な処理である。

答え

$$ b_k-a_k=\left(\frac23\right)^k(b-a) $$

したがって、

$$ a_k=\frac{3a+2b-2\left(\frac23\right)^k(b-a)}{5} $$

$$ b_k=\frac{3a+2b+3\left(\frac23\right)^k(b-a)}{5} $$

である。