東北大学 1997年 理系 第1問 解説

方針・初手

条件 (ii) より、点 $P$ は「$A$ を通り、$\overrightarrow{OA}$ に垂直な平面」上にある。

したがって、$P$ は 2 つの平面

• $y=2x$
• $\overrightarrow{OA}\perp \overrightarrow{AP}$ を表す平面

の交線上を動く。そこでまず条件を式に直し、$P$ を 1 文字で表してから $|\overrightarrow{AP}|$ を最小化する。

解法1

$\overrightarrow{OA}=(-1,1,1)$ であり、

$$ \overrightarrow{AP}=(x+1,\ y-1,\ z-1) $$

である。

条件 (ii) より、内積が $0$ だから

$$ (-1,1,1)\cdot (x+1,\ y-1,\ z-1)=0 $$

すなわち

$$ -(x+1)+(y-1)+(z-1)=0 $$

よって

$$ -x+y+z-3=0 $$

を得る。

また、条件 (i) より

$$ y=2x $$

であるから、これを代入すると

$$ -x+2x+z-3=0 $$

すなわち

$$ x+z=3 $$

となる。

ここで $x=t$ とおくと、

$$ y=2t,\qquad z=3-t $$

より、$P$ は

$$ P(t,\ 2t,\ 3-t) $$

と表せる。

したがって

$$ \overrightarrow{AP}=(t+1,\ 2t-1,\ 2-t) $$

であり、その長さの 2 乗は

$$ |\overrightarrow{AP}|^2=(t+1)^2+(2t-1)^2+(2-t)^2 $$

である。これを整理すると

$$ \begin{aligned} |\overrightarrow{AP}|^2 &=(t^2+2t+1)+(4t^2-4t+1)+(t^2-4t+4) \ &=6t^2-6t+6 \ &=6\left(t-\frac12\right)^2+\frac92 \end{aligned} $$

となる。

したがって、$|\overrightarrow{AP}|^2$ の最小値は

$$ \frac92 $$

であり、$|\overrightarrow{AP}|$ の最小値は

$$ \sqrt{\frac92}=\frac{3\sqrt2}{2} $$

である。

このとき

$$ t=\frac12 $$

なので、

$$ P\left(\frac12,\ 1,\ \frac52\right) $$

である。

解法2

条件 (ii) は、点 $P$ が平面

$$ -x+y+z-3=0 $$

上にあることを意味する。したがって、$P$ は 2 平面

$$ y=2x,\qquad -x+y+z-3=0 $$

の交線上を動く。

この交線の方向ベクトルは、それぞれの法線ベクトル

$$ (-2,1,0),\qquad (-1,1,1) $$

の外積で求められる。

$$ (-2,1,0)\times(-1,1,1)=(1,2,-1) $$

よって交線の方向ベクトルは $(1,2,-1)$ である。

また、この交線上の 1 点として、$x=0$ とすると $y=0,\ z=3$ だから

$$ Q(0,0,3) $$

をとれる。

したがって交線は

$$ P=Q+s(1,2,-1) $$

と表せる。すなわち

$$ P=(s,\ 2s,\ 3-s) $$

である。

点 $A(-1,1,1)$ からこの直線までの距離が、$|\overrightarrow{AP}|$ の最小値である。

$$ \overrightarrow{AQ}=(1,-1,2) $$

より、点と直線の距離公式を用いると

$$ \min |\overrightarrow{AP}| =\frac{|\overrightarrow{AQ}\times(1,2,-1)|}{\sqrt{1^2+2^2+(-1)^2}} $$

である。

まず

$$ \overrightarrow{AQ}\times(1,2,-1)=(-3,3,3) $$

だから、

$$ |\overrightarrow{AQ}\times(1,2,-1)| =\sqrt{(-3)^2+3^2+3^2}=3\sqrt3 $$

また、

$$ \sqrt{1^2+2^2+(-1)^2}=\sqrt6 $$

であるから

$$ \min |\overrightarrow{AP}|=\frac{3\sqrt3}{\sqrt6}=\frac{3\sqrt2}{2} $$

となる。

最小値を与える点は、解法1より

$$ P\left(\frac12,\ 1,\ \frac52\right) $$

である。

解説

この問題の本質は、条件 (ii) を「内積が $0$」として式に直すことである。すると $P$ の存在範囲が平面になり、さらに (i) の平面との交わりは直線になる。

あとは、その直線上の点を 1 変数で表して長さを最小化すればよい。高校数学としては、解法1のように 2 乗を最小化するのが最も確実である。

答え

$$ |\overrightarrow{AP}|_{\min}=\frac{3\sqrt2}{2} $$

その最小値を与える点 $P$ の座標は

$$ \left(\frac12,\ 1,\ \frac52\right) $$

である。