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大阪大学 1993年文系第2問解説

方針・初手

（1）は直接計算を行うか、行列 $A$ を定数倍と回転行列の積に分解してド・モアブルの定理（あるいは回転行列の性質）を利用して求める。

（2）は（1）で求めた $A^4$ が単位行列の定数倍になることを利用する。4項ずつ区切って和を計算するか、行列の等比数列の和の公式（公比が1でない場合に相当する逆行列の存在を利用）を用いて和を求める。

解法1

(1)

直接行列の積を計算する。

$$ A^2 = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} $$

よって、

$$ A^4 = (A^2)^2 = \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & 0 \\ 0 & -4 \end{pmatrix} $$

(2)

単位行列を $E$ とする。（1）の結果より $A^4 = -4E$ である。

求める和を $S_n$ とおくと、

$$ S_n = \sum_{k=1}^{4n} A^k = A + A^2 + A^3 + A^4 + \cdots + A^{4n} $$

連続する4つの項の和は、自然数 $j$ を用いて次のように表せる。

$$ A^{4j-3} + A^{4j-2} + A^{4j-1} + A^{4j} = A^{4(j-1)} (A + A^2 + A^3 + A^4) $$

ここで $A^{4(j-1)} = (A^4)^{j-1} = (-4E)^{j-1} = (-4)^{j-1} E$ であるから、

$$ A^{4j-3} + A^{4j-2} + A^{4j-1} + A^{4j} = (-4)^{j-1} (A + A^2 + A^3 + A^4) $$

となる。$A + A^2 + A^3 + A^4$ を計算する。

$$ A^3 = A^2 A = \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & -2 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} A + A^2 + A^3 + A^4 &= \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 & -2 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -4 & 0 \\ 0 & -4 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -5 & -5 \\ 5 & -5 \end{pmatrix} \end{aligned} $$

したがって、$S_n$ は次のように計算できる。

$$ \begin{aligned} S_n &= \sum_{j=1}^{n} \left\{ (-4)^{j-1} \begin{pmatrix} -5 & -5 \\ 5 & -5 \end{pmatrix} \right\} \\ &= \left( \sum_{j=1}^{n} (-4)^{j-1} \right) \begin{pmatrix} -5 & -5 \\ 5 & -5 \end{pmatrix} \end{aligned} $$

カッコ内の和は初項 $1$、公比 $-4$、項数 $n$ の等比数列の和であるから、

$$ \sum_{j=1}^{n} (-4)^{j-1} = \frac{1 - (-4)^n}{1 - (-4)} = \frac{1 - (-4)^n}{5} $$

よって、

$$ S_n = \frac{1 - (-4)^n}{5} \begin{pmatrix} -5 & -5 \\ 5 & -5 \end{pmatrix} = (1 - (-4)^n) \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} $$

解法2

(1)

行列 $A$ を極形式で表す。

$$ A = \sqrt{2} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \sqrt{2} \begin{pmatrix} \cos \frac{\pi}{4} & -\sin \frac{\pi}{4} \\ \sin \frac{\pi}{4} & \cos \frac{\pi}{4} \end{pmatrix} $$

回転行列の性質（またはド・モアブルの定理に相当する計算）により、

$$ A^4 = (\sqrt{2})^4 \begin{pmatrix} \cos \left(4 \cdot \frac{\pi}{4}\right) & -\sin \left(4 \cdot \frac{\pi}{4}\right) \\ \sin \left(4 \cdot \frac{\pi}{4}\right) & \cos \left(4 \cdot \frac{\pi}{4}\right) \end{pmatrix} = 4 \begin{pmatrix} \cos \pi & -\sin \pi \\ \sin \pi & \cos \pi \end{pmatrix} $$

よって、

$$ A^4 = 4 \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & 0 \\ 0 & -4 \end{pmatrix} $$

(2)

単位行列を $E$ とする。

$$ E - A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} $$

この行列式は $\det(E-A) = 0 \cdot 0 - 1 \cdot (-1) = 1 \neq 0$ であるため、正則行列である。その逆行列は、

$$ (E-A)^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $$

求める和を $S_n$ とおくと、

$$ S_n = A + A^2 + A^3 + \cdots + A^{4n} $$

この両辺に右から $A$ を掛けると、

$$ S_n A = A^2 + A^3 + A^4 + \cdots + A^{4n+1} $$

辺々を引くと、中間の項が打ち消し合い、

$$ S_n - S_n A = A - A^{4n+1} $$

$$ S_n (E - A) = A (E - A^{4n}) $$

両辺に右から $(E-A)^{-1}$ を掛ける。

$$ S_n = A (E - A^{4n}) (E - A)^{-1} $$

ここで、（1）より $A^4 = -4E$ であるから、

$$ A^{4n} = (A^4)^n = (-4E)^n = (-4)^n E $$

となる。よって、

$$ E - A^{4n} = E - (-4)^n E = (1 - (-4)^n) E $$

これを代入すると、

$$ S_n = A \cdot (1 - (-4)^n) E \cdot (E - A)^{-1} = (1 - (-4)^n) A (E - A)^{-1} $$

$A (E - A)^{-1}$ を計算する。

$$ A (E - A)^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} $$

したがって、

$$ S_n = (1 - (-4)^n) \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} $$

解説

2次正方行列の累乗は、ケーリー・ハミルトンの定理から次数下げを行って求めるのが一般的であるが、本問のように $A^4$ が単位行列の定数倍になる特殊な行列の場合は、そのまま直接計算するか、回転と拡大を用いた図形的な意味（極形式表示）を捉えることで素早く計算できる。

（2）は数列の和の考え方を行列に拡張した問題である。解法1のように周期性を利用して4項ずつブロックに分ける方法が最も安全で分かりやすいであろう。解法2のように等比数列の和の公式に似た導出を行う場合、$E-A$ の逆行列が存在すること（正則であること）を必ず確認してから逆行列を掛ける操作を行う必要がある。