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東北大学 1992年文系第3問解説

方針・初手

(1) は微分法を用いて接線の方程式を求める基本問題である。

(2) は放物線②が直線 $l$ と接点 $(1, 4)$ を共有し、かつその点での微分係数が $l$ の傾きと一致する条件を立式する。

(3) は $y$ 軸（$x=0$）から接点の $x$ 座標（$x=1$）までの区間で、放物線と接線の間の面積を定積分で計算する。接線の性質から被積分関数が完全平方式になることを利用すると計算がスムーズになる。

解法1

(1)

$f(x) = 3x^2 - 4x + 5$ とおく。

$f(x)$ を $x$ で微分すると

$$ f'(x) = 6x - 4 $$

点 $(1, 4)$ における接線 $l$ の傾きは

$$ f'(1) = 6 \cdot 1 - 4 = 2 $$

よって、直線 $l$ の方程式は

$$ y - 4 = 2(x - 1) $$

$$ y = 2x + 2 $$

(2)

$g(x) = 2x^2 + ax + b$ とおく。

直線 $l$ が点 $(1, 4)$ において放物線②に接するための条件は、放物線②が点 $(1, 4)$ を通り、かつ $x = 1$ における接線の傾きが直線 $l$ の傾き $2$ と等しくなることである。すなわち、

$$ g(1) = 4 \quad \text{かつ} \quad g'(1) = 2 $$

を満たせばよい。

$g(1) = 4$ より

$$ 2 \cdot 1^2 + a \cdot 1 + b = 4 $$

$$ a + b = 2 \cdots \text{③} $$

また、$g'(x) = 4x + a$ であるから、$g'(1) = 2$ より

$$ 4 \cdot 1 + a = 2 $$

$$ a = -2 $$

これを③に代入して

$$ -2 + b = 2 $$

$$ b = 4 $$

よって、求める値は $a = -2, b = 4$ である。

(3)

放物線①と直線 $l$ の接点の $x$ 座標は $x = 1$ であり、区間 $0 \leqq x \leqq 1$ において、放物線①は直線 $l$ より上側にある。よって面積 $S_1$ は

$$ \begin{aligned} S_1 &= \int_{0}^{1} \{ (3x^2 - 4x + 5) - (2x + 2) \} dx \\ &= \int_{0}^{1} (3x^2 - 6x + 3) dx \\ &= 3 \int_{0}^{1} (x - 1)^2 dx \\ &= 3 \left[ \frac{(x - 1)^3}{3} \right]_{0}^{1} \\ &= 3 \left( 0 - \frac{-1}{3} \right) \\ &= 1 \end{aligned} $$

同様に、(2) より放物線②の方程式は $y = 2x^2 - 2x + 4$ であり、点 $(1, 4)$ において直線 $l$ に接する。区間 $0 \leqq x \leqq 1$ において、放物線②は直線 $l$ より上側にあるため、面積 $S_2$ は

$$ \begin{aligned} S_2 &= \int_{0}^{1} \{ (2x^2 - 2x + 4) - (2x + 2) \} dx \\ &= \int_{0}^{1} (2x^2 - 4x + 2) dx \\ &= 2 \int_{0}^{1} (x - 1)^2 dx \\ &= 2 \left[ \frac{(x - 1)^3}{3} \right]_{0}^{1} \\ &= 2 \left( 0 - \frac{-1}{3} \right) \\ &= \frac{2}{3} \end{aligned} $$

したがって、$S_1$ と $S_2$ の比は

$$ S_1 : S_2 = 1 : \frac{2}{3} = 3 : 2 $$

解説

放物線と接線で囲まれた面積を求める典型的な問題である。

一般に、$x = \alpha$ で直線 $y = mx + n$ に接する放物線 $y = px^2 + qx + r$ と接線の差は、$p(x - \alpha)^2$ の形に因数分解できる性質がある。

本問でも、被積分関数がそれぞれ $3(x - 1)^2$ および $2(x - 1)^2$ となることを見越して定積分を計算すると、展開の手間が大きく省け、計算ミスを防ぐことができる。また、積分区間が同じで共通の接線を持つ場合、面積比が $x^2$ の係数の絶対値の比になること（今回は $3 : 2$）を知っていれば、検算にも役立つ。