東北大学 2022年 文系 第2問 解説

方針・初手

絶対値の中身 $x^2-t^2$ の符号がどこで変わるかを見るのが初手である。

$t\geqq 0$ なので、$x^2-t^2=0$ となるのは $x=t$ である。したがって、（i） $0\leqq t\leqq 1$ では区間 $[0,1]$ の内部で符号が変わり、（ii） $t\geqq 1$ では区間全体で $x^2-t^2\leqq 0$ となる。これにより積分を場合分けして計算すればよい。

解法1

まず （1） を求める。

$0\leqq t\leqq 1$ のとき、$0\leqq x\leqq t$ では $x^2-t^2\leqq 0$、$t\leqq x\leqq 1$ では $x^2-t^2\geqq 0$ である。よって

$$ F(t)=\int_0^t (t^2-x^2),dx+\int_t^1 (x^2-t^2),dx $$

となる。

第1項は

$$ \int_0^t (t^2-x^2),dx =t^2\cdot t-\frac{t^3}{3} =\frac{2}{3}t^3 $$

である。

第2項は

$$ \int_t^1 (x^2-t^2),dx =\left[\frac{x^3}{3}-t^2x\right]_t^1 =\left(\frac13-t^2\right)-\left(\frac{t^3}{3}-t^3\right) =\frac13-t^2+\frac23 t^3 $$

である。

したがって

$$ F(t)=\frac23 t^3+\left(\frac13-t^2+\frac23 t^3\right) =\frac13-t^2+\frac43 t^3 $$

を得る。これが （1） の答えである。

次に （2） を考える。

(i)

$0\leqq t\leqq 1$ のときは、上で求めた式より

$$ F(t)=\frac13-t^2+\frac43 t^3 $$

であるから、

$$ F'(t)=-2t+4t^2=2t(2t-1) $$

となる。

よって $0<t<\frac12$ では $F'(t)<0$、$\frac12<t\leqq 1$ では $F'(t)>0$ である。したがって、この区間では $t=\frac12$ で最小となる。

その値は

$$ F\left(\frac12\right) =\frac13-\frac14+\frac43\cdot\frac18 =\frac13-\frac14+\frac16 =\frac14 $$

である。

(ii)

$t\geqq 1$ のときは、$0\leqq x\leqq 1$ で常に $x^2-t^2\leqq 0$ だから

$$ F(t)=\int_0^1 (t^2-x^2),dx =t^2-\frac13 $$

である。これは $t\geqq 1$ で単調増加するので、この範囲での最小値は $t=1$ のとき

$$ F(1)=1-\frac13=\frac23 $$

である。

以上より、$t\geqq 0$ 全体で比べると

$$ F\left(\frac12\right)=\frac14,\qquad F(1)=\frac23 $$

であるから、全体の最小値は $t=\frac12$ のときの $\frac14$ である。

解説

この問題の要点は、絶対値付き積分では「絶対値の中身が 0 になる点」で区間を分けることである。

$0\leqq t\leqq 1$ では $x=t$ が積分区間の内部に入るので分割が必要である。一方、$t\geqq 1$ では $x=t$ は区間 $[0,1]$ の外にあるため、絶対値を外した式が一様に決まる。この見極めができれば、あとは整式に直して微分するだけで最小値まで求められる。

答え

$$ 0\leqq t\leqq 1 \text{ のとき}\quad F(t)=\frac13-t^2+\frac43 t^3 $$

また、$t\geqq 0$ において $F(t)$ を最小にする値は

$$ T=\frac12 $$

そのときの最小値は

$$ F(T)=\frac14 $$