トップ› 東北大学› 2022年› 文系第3問

東北大学 2022年文系第3問解説

方針・初手

直線 $l:ax+by-2=0$ に対して、条件をそのまま $a,b$ の不等式に直す。

原点と直線の距離は公式で表せる。また、$x=1$ との交点の $y$ 座標は $x=1$ を代入すれば求まる。これにより、$(a,b)$ の範囲 $D$ は $ab$ 平面上の図形として表せる。

(2) は、その範囲内で一次式 $3a+2b$ の最大値を求める問題である。$a^2+b^2\leqq 1$ があるので、コーシー・シュワルツの不等式を使うのが最も速い。

解法1

まず、直線 $l:ax+by-2=0$ と原点との距離は

$$ \frac{| -2|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{2}{\sqrt{a^2+b^2}} $$

である。

これが $2$ 以上であるから、

$$ \frac{2}{\sqrt{a^2+b^2}}\geqq 2 $$

より

$$ \sqrt{a^2+b^2}\leqq 1 $$

したがって

$$ a^2+b^2\leqq 1 $$

を得る。

次に、直線 $l$ と直線 $x=1$ の交点の $y$ 座標を求める。$x=1$ を代入すると

$$ a+by-2=0 $$

より

$$ y=\frac{2-a}{b} $$

である。これが $2$ 以上であるから、$b>0$ に注意して

$$ \frac{2-a}{b}\geqq 2 $$

すなわち

$$ 2-a\geqq 2b $$

であり、

$$ a+2b\leqq 2 $$

を得る。

よって、求める範囲 $D$ は

$$ D={(a,b)\mid a>0,\ b>0,\ a^2+b^2\leqq 1,\ a+2b\leqq 2} $$

である。

これを $ab$ 平面に図示すると、第1象限において、円

$$ a^2+b^2=1 $$

の内部と、直線

$$ a+2b=2 $$

の下側との共通部分である。

境界の交点を確認すると、

$$ \begin{aligned} a^2+b^2&=1,\\ a+2b&=2 \end{aligned} $$

より、$a=2-2b$ を代入して

$$ (2-2b)^2+b^2=1 $$

$$ 5b^2-8b+3=0 $$

となるので、

$$ b=1,\ \frac35 $$

である。対応する $a$ は

$$ a=0,\ \frac45 $$

だから、交点は $(0,1)$ と $\left(\frac45,\frac35\right)$ である。

ただし $a,b$ は正であるから、軸上の点は含まれない。したがって、境界は $\left(\frac45,\frac35\right)$ から $(1,0)$ に向かう円弧と、 $(0,1)$ から $\left(\frac45,\frac35\right)$ に向かう線分で与えられる。ただし $(0,1),(1,0)$ は含まれない。

次に、$D$ 上で $3a+2b$ の最大値を求める。

コーシー・シュワルツの不等式より、

$$ (3a+2b)^2\leqq (3^2+2^2)(a^2+b^2)=13(a^2+b^2) $$

である。$D$ では $a^2+b^2\leqq 1$ だから、

$$ (3a+2b)^2\leqq 13 $$

したがって

$$ 3a+2b\leqq \sqrt{13} $$

である。

等号成立は、

$$ (a,b)=k(3,2) $$

かつ

$$ a^2+b^2=1 $$