東北大学 1961年 理系 第1問 解説

方針・初手

(1) まずは $f(x) - f(t)$ を文字通り計算し、共通因数 $(x - t)$ でくくり出すことで $g(x)$ の正体を求める。その後、得られた $g(x)$ を用いて $g(x) - g(t)$ を計算し、因数分解する。

(2) 多項式 $g(x)$ が $(x - t)$ を因数にもつための条件は、因数定理より $g(t) = 0$ が成り立つことである。これを用いて $t$ の方程式を導き、$t$ の値を求める。

(3) 極値をもつことを示すには、微分の符号変化（増減表）を利用するのが一般的だが、問題文の「$f(x) - f(t_1)$、したがって」という誘導は、$f(x) - f(t_1)$ が $(x - t_1)^2$ を因数にもつことを利用して、$x = t_1$ の近傍での関数値の大小関係を直接評価することを意図している。定義に立ち返る解法と、微分を用いる解法の2通りを示す。

解法1

(1) 与式に従って $f(x) - f(t)$ を計算する。

$$ \begin{aligned} f(x) - f(t) &= (x^3 + 3ax^2 + 3bx) - (t^3 + 3at^2 + 3bt) \\ &= (x^3 - t^3) + 3a(x^2 - t^2) + 3b(x - t) \\ &= (x - t)(x^2 + xt + t^2) + 3a(x - t)(x + t) + 3b(x - t) \\ &= (x - t) \{ x^2 + (t + 3a)x + t^2 + 3at + 3b \} \end{aligned} $$

$f(x) - f(t) = (x - t)g(x)$ と比較して、

$$ g(x) = x^2 + (t + 3a)x + t^2 + 3at + 3b $$

である。したがって、$g(x) - g(t)$ は次のように因数分解できる。

$$ \begin{aligned} g(x) - g(t) &= \{ x^2 + (t + 3a)x + t^2 + 3at + 3b \} - \{ t^2 + (t + 3a)t + t^2 + 3at + 3b \} \\ &= (x^2 - t^2) + (t + 3a)(x - t) \\ &= (x - t)(x + t) + (x - t)(t + 3a) \\ &= (x - t)(x + 2t + 3a) \end{aligned} $$

(2) $g(x)$ が $(x - t)$ を因数にもつための必要十分条件は、因数定理より $g(t) = 0$ である。 $g(t)$ を計算すると、

$$ g(t) = t^2 + (t + 3a)t + t^2 + 3at + 3b = 3t^2 + 6at + 3b $$

これが $0$ になるので、

$$ 3t^2 + 6at + 3b = 0 \iff t^2 + 2at + b = 0 $$

これを $t$ について解くと、

$$ t = -a \pm \sqrt{a^2 - b} $$

（問題の条件 $b < a^2$ より $a^2 - b > 0$ であるため、実数解として存在する。） このとき、$g(t) = 0$ であるから、(1) の結果を用いると

$$ g(x) = g(x) - g(t) = (x - t)(x + 2t + 3a) $$

となる。したがって、$f(x) - f(t)$ は次のように因数分解される。

$$ f(x) - f(t) = (x - t)g(x) = (x - t)^2(x + 2t + 3a) $$

(3) (2) で求めた $t$ のうち、値が大きい方を $t_1$ とするので、

$$ t_1 = -a + \sqrt{a^2 - b} $$

である。このとき、(2) の結果より

$$ f(x) - f(t_1) = (x - t_1)^2(x + 2t_1 + 3a) $$

となる。ここで、$x$ が $t_1$ に十分近い範囲（$t_1$ の近傍）における、第2因数 $x + 2t_1 + 3a$ の符号を調べる。式を変形すると、

$$ x + 2t_1 + 3a = (x - t_1) + 3t_1 + 3a $$

$t_1$ を代入すると、

$$ 3t_1 + 3a = 3(-a + \sqrt{a^2 - b}) + 3a = 3\sqrt{a^2 - b} $$

$b < a^2$ より $3\sqrt{a^2 - b} > 0$ であるから、

$$ x + 2t_1 + 3a = (x - t_1) + 3\sqrt{a^2 - b} $$

ここで、$|x - t_1| < 3\sqrt{a^2 - b}$ を満たすように $x$ を $t_1$ に十分近づけると、右辺は正となる。 すなわち、$x$ が $t_1$ の十分近くにあるとき、$x + 2t_1 + 3a > 0$ である。 また、全ての実数 $x$ において $(x - t_1)^2 \geqq 0$ である。

したがって、$x$ が $t_1$ に十分近いとき、

$$ f(x) - f(t_1) = (x - t_1)^2(x + 2t_1 + 3a) \geqq 0 $$

が成り立つ（等号成立は $x = t_1$ のときのみ）。 これは $x = t_1$ の近傍において常に $f(x) \geqq f(t_1)$ であることを意味しており、極小値の定義を満たす。 よって、$f(x) - f(t_1)$、したがって $f(x)$ は $x = t_1$ で極値（極小値）になることが証明された。

解法2

(3) の別解（導関数を利用した証明）

$F(x) = f(x) - f(t_1)$ とおく。(2) より、

$$ F(x) = (x - t_1)^2(x + 2t_1 + 3a) $$

である。$F(x)$ を $x$ について微分すると、積の微分法より

$$ \begin{aligned} F'(x) &= 2(x - t_1)(x + 2t_1 + 3a) + (x - t_1)^2 \cdot 1 \\ &= (x - t_1) \{ 2(x + 2t_1 + 3a) + (x - t_1) \} \\ &= (x - t_1)(3x + 3t_1 + 6a) \\ &= 3(x - t_1)(x + t_1 + 2a) \end{aligned} $$

ここで、(2) で得た方程式 $t^2 + 2at + b = 0$ の 2つの解を $t_1, t_2$ （$t_1 > t_2$）とすると、解と係数の関係より

$$ t_1 + t_2 = -2a \iff -t_2 = t_1 + 2a $$

が成り立つ。これを $F'(x)$ の式に代入すると、

$$ F'(x) = 3(x - t_1)(x - t_2) $$

となる。$t_1 > t_2$ であるから、$x = t_1$ の前後において、 $x < t_1$ のとき $x - t_1 < 0, x - t_2 > 0$ （$x$ が $t_1$ に十分近い場合）より $F'(x) < 0$ $x > t_1$ のとき $x - t_1 > 0, x - t_2 > 0$ より $F'(x) > 0$ となり、$F'(x)$ の符号は負から正へと変化する。

したがって、$F(x)$ は $x = t_1$ において極小となる。 $F(x) = f(x) - f(t_1)$ であるから、$f(x) - f(t_1)$ が極値をとること、そして定数を足した $f(x)$ も $x = t_1$ で極値をとることが証明された。

解説

本問は、微分を用いずに関数の差 $f(x) - f(t)$ を因数分解する操作を通じて、極値の定義そのものを深く理解させる構成となっている。

(1)と(2)は誘導に従って愚直に式変形と因数分解を進めればよい。(2)で $g(x)$ が $(x-t)$ を因数にもつことと $g(t)=0$ が同値であるという「因数定理」を正しく使えるかが最初のポイントである。

(3)の証明については、「極値の定義」に立ち返るアプローチ（解法1）が本問の誘導の意図に最も忠実である。極値とは「その点の周辺（近傍）において、関数値が最大または最小になる」ことである。解法1では $(x - t_1)^2 \geqq 0$ であることを利用し、残りのかたまりである $x + 2t_1 + 3a$ が $x = t_1$ の近くで正になることを示すことで、近傍において常に $f(x) - f(t_1) \geqq 0$ となることを証明している。 一方、解法2のように導関数を計算して符号変化を調べる方法でも問題の要求は満たせる。この場合も、差の式 $F(x) = f(x) - f(t_1)$ を微分するという形で誘導に乗ることができる。

答え

(1) $$g(x) - g(t) = (x - t)(x + 2t + 3a)$$

(2) $$t = -a \pm \sqrt{a^2 - b}$$ $$f(x) - f(t) = (x - t)^2(x + 2t + 3a)$$

(3) $f(x) - f(t_1) = (x - t_1)^2(x + 2t_1 + 3a)$ において、$x$ が $t_1$ に十分近いとき $x + 2t_1 + 3a > 0$ となり、$f(x) - f(t_1) \geqq 0$ が成り立つことから極小値（極値）となることが示された。（詳細は解法を参照）