大阪大学 1976年 文系 第4問 解説

方針・初手

4次関数が極大値をもつための条件を考える。 $x^4$ の係数が正である4次関数が極大値をもつのは、その導関数を $0$ とおいた3次方程式が異なる3つの実数解をもつときである。 導関数を計算し、方程式が異なる3つの実数解をもつような定数 $a$ の条件を求める。

解法1

与えられた関数を $f(x)$ とおく。

$$ f(x) = x^4 - 4(a-1)x^3 + 2(a^2 - 1)x^2 $$

これを $x$ について微分すると、

$$ f'(x) = 4x^3 - 12(a-1)x^2 + 4(a^2 - 1)x $$

となる。右辺を $4x$ でくくると、

$$ f'(x) = 4x \{ x^2 - 3(a-1)x + (a^2 - 1) \} $$

$x^4$ の係数が正である4次関数 $f(x)$ が極大値をもつための条件は、方程式 $f'(x) = 0$ が異なる3つの実数解をもつことである。

$f'(x) = 0$ とすると、

$$ x = 0 \quad \text{または} \quad x^2 - 3(a-1)x + (a^2 - 1) = 0 $$

したがって、求める条件は、2次方程式 $x^2 - 3(a-1)x + (a^2 - 1) = 0$ が、$x = 0$ 以外の異なる2つの実数解をもつことである。 これを満たすためには、以下の2つの条件が同時に成り立つ必要がある。

(i)

$x^2 - 3(a-1)x + (a^2 - 1) = 0$ が異なる2つの実数解をもつ。

2次方程式の判別式を $D$ とすると、$D > 0$ であればよい。

$$ \begin{aligned} D &= \{ -3(a-1) \}^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a^2 - 1) \\ &= 9(a^2 - 2a + 1) - 4a^2 + 4 \\ &= 5a^2 - 18a + 13 \end{aligned} $$

$D > 0$ より、

$$ 5a^2 - 18a + 13 > 0 $$

$$ (5a - 13)(a - 1) > 0 $$

これを解いて、

$$ a < 1, \quad \frac{13}{5} < a $$

(ii)

$x = 0$ は $x^2 - 3(a-1)x + (a^2 - 1) = 0$ の解ではない。

$x = 0$ を代入したとき成り立たない条件であるから、

$$ 0^2 - 3(a-1) \cdot 0 + (a^2 - 1) \neq 0 $$

$$ a^2 - 1 \neq 0 $$

$$ (a + 1)(a - 1) \neq 0 $$

よって、

$$ a \neq 1 \quad \text{かつ} \quad a \neq -1 $$

以上、（i） と （ii） を同時に満たす $a$ の値の範囲を求める。

（i） の範囲 $a < 1, \frac{13}{5} < a$ から、（ii） の条件 $a \neq 1, a \neq -1$ を満たす範囲をとる。 $a \neq 1$ は （i） の範囲においてすでに除かれているため、$a \neq -1$ を考慮すればよい。

よって、求める実数 $a$ の値の範囲は、

$$ a < -1, \quad -1 < a < 1, \quad \frac{13}{5} < a $$

解説

4次関数の極値に関する典型問題である。 最高次（$x^4$）の係数が正の4次関数は、導関数を $0$ とおいた方程式が異なる3実数解をもてば、増減表において符号が「負・正・負・正」と変化するため「極小・極大・極小」となり、極大値をもつ。もし異なる実数解を1つや2つしか持たない場合は、極大値をもたない。 また、導関数を因数分解して得られる2次方程式が「すでにわかっている解（本問では $x=0$）と異なる解をもつ」という条件を忘れやすいので注意が必要である。判別式だけでなく、代入して $0$ にならないことを確認する手順が重要となる。

答え

$$ a < -1, \quad -1 < a < 1, \quad \frac{13}{5} < a $$