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東北大学 1964年文系第6問解説

方針・初手

$f(x)$ と $g(x)$ の大小関係は、差 $f(x) - g(x)$ を計算し、因数分解して符号を調べることで判定する。
$f(x) \geqq f\left(\frac{1}{4}\right)$ の証明やグラフの描画のために、それぞれの導関数 $f'(x), g'(x)$ を求め、増減を調べる。

解法1

大小関係の調査

$10 \{ f(x) - g(x) \}$ を計算する。

$$ \begin{aligned} 10 \{ f(x) - g(x) \} &= \left( \frac{1}{x^2} - \frac{2}{x} - 2x + 5 \right) - \left( \frac{4}{x} - 4 + 2x \right) \\ &= \frac{1}{x^2} - \frac{6}{x} - 4x + 9 \\ &= \frac{1 - 6x - 4x^3 + 9x^2}{x^2} \end{aligned} $$

分子の多項式を $P(x) = -4x^3 + 9x^2 - 6x + 1$ とおく。 $P(1) = -4 + 9 - 6 + 1 = 0$ であるから、$P(x)$ は $x-1$ を因数にもつ。

$$ \begin{aligned} P(x) &= (x-1)(-4x^2 + 5x - 1) \\ &= -(x-1)^2(4x - 1) \end{aligned} $$

したがって、差は次のように表される。

$$ f(x) - g(x) = -\frac{(x-1)^2(4x-1)}{10x^2} $$

$x > 0$ において、$10x^2 > 0$ かつ $(x-1)^2 \geqq 0$ であるから、$f(x) - g(x)$ の符号は $-(4x-1)$ の符号と等しい（ただし $x=1$ のときは $0$）。これより、大小関係は以下のようになる。

$0 < x < \frac{1}{4}$ のとき、$4x-1 < 0$ より $f(x) > g(x)$
$x = \frac{1}{4}, 1$ のとき、$f(x) = g(x)$
$\frac{1}{4} < x < 1$ および $x > 1$ のとき、$4x-1 > 0$ より $f(x) < g(x)$

$0 < x \leqq \frac{1}{4}$ における不等式の証明

$f(x) = \frac{1}{10} \left( x^{-2} - 2x^{-1} - 2x + 5 \right)$ を微分する。

$$ \begin{aligned} f'(x) &= \frac{1}{10} \left( -2x^{-3} + 2x^{-2} - 2 \right) \\ &= \frac{-2 + 2x - 2x^3}{10x^3} \\ &= \frac{-x^3 + x - 1}{5x^3} \end{aligned} $$

$x > 0$ のとき分母 $5x^3 > 0$ であるため、$f'(x)$ の符号は分子 $Q(x) = -x^3 + x - 1$ の符号と一致する。 $Q(x)$ を微分すると、以下のようになる。

$$ Q'(x) = -3x^2 + 1 $$

$0 < x < \frac{1}{\sqrt{3}}$ において $Q'(x) > 0$ であるから、$Q(x)$ はこの範囲で単調増加する。 $\frac{1}{4} < \frac{1}{\sqrt{3}}$ であることに注意すると、$0 < x \leqq \frac{1}{4}$ において $Q(x)$ は単調増加であり、その最大値は $Q\left(\frac{1}{4}\right)$ である。

$$ Q\left(\frac{1}{4}\right) = -\frac{1}{64} + \frac{1}{4} - 1 = -\frac{49}{64} < 0 $$

よって、$0 < x \leqq \frac{1}{4}$ において常に $Q(x) < 0$ であり、$f'(x) < 0$ となる。したがって、$f(x)$ は $0 < x \leqq \frac{1}{4}$ において単調減少するので、以下が成り立つ。

$$ f(x) \geqq f\left(\frac{1}{4}\right) $$

（等号成立は $x = \frac{1}{4}$ のとき）

グラフの描画に向けて

$g(x) = \frac{1}{10} \left( \frac{4}{x} - 4 + 2x \right)$ を微分する。

$$ \begin{aligned} g'(x) &= \frac{1}{10} \left( -\frac{4}{x^2} + 2 \right) \\ &= \frac{2x^2 - 4}{10x^2} \\ &= \frac{x^2 - 2}{5x^2} \end{aligned} $$

$0 < x \leqq 2$ において $g'(x) = 0$ となるのは $x = \sqrt{2}$ のときである。また、$f(x)$ については、先ほどの $Q(x)$ の極大値が $x = \frac{1}{\sqrt{3}}$ のとき $Q\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{2\sqrt{3}}{9} - 1 < 0$ であるため、$x > 0$ 全体で $Q(x) < 0$、すなわち $f'(x) < 0$ となり常に単調減少する。

これらを踏まえ、$0 < x \leqq 2$ における $f(x)$ と $g(x)$ の増減表を作成すると以下のようになる。

$x$	$(0)$	$\cdots$	$\frac{1}{4}$	$\cdots$	$1$	$\cdots$	$\sqrt{2}$	$\cdots$	$2$
$f'(x)$		$-$	$-$	$-$	$-$	$-$	$-$	$-$	$-$
$f(x)$	$\infty$	$\searrow$	$\frac{5}{4}$	$\searrow$	$\frac{1}{5}$	$\searrow$	$\searrow$	$\searrow$	$\frac{1}{40}$
$g'(x)$		$-$	$-$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$	$+$
$g(x)$	$\infty$	$\searrow$	$\frac{5}{4}$	$\searrow$	$\frac{1}{5}$	$\searrow$	$\frac{2\sqrt{2}-2}{5}$	$\nearrow$	$\frac{1}{5}$

交点は $\left(\frac{1}{4}, \frac{5}{4}\right)$ と $\left(1, \frac{1}{5}\right)$ の2か所である。特に $x = 1$ においては $f'(1) = g'(1) = -\frac{1}{5}$ となり、2曲線はここで接している。グラフは $y$ 軸を漸近線とし、増減表の各点を通るように $f(x), g(x)$ をそれぞれ滑らかに結ぶことで描かれる。

解説

2つの関数の大小関係を調べる基本手順通り、差をとって因数分解することが第一歩です。ここで $(x-1)^2$ という重解の因数が出てくることから、$x=1$ で2曲線が接することが分かります。 $f(x)$ の増減を調べる場面では、導関数の分子に現れる3次関数の符号判定が必要です。直接 $0$ となる解を求められないため、さらに微分して極値を調べることで、考えている区間（または全体）で常に負であることを示す論法は、微積分において頻出の処理です。