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東北大学 1961年理系第5問解説

方針・初手

関数 $f(x)$ の増減を調べるため、導関数 $f'(x)$ を計算する。計算の工夫として、2倍角の公式 $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ を用いて $f(x)$ を変形してから微分すると見通しが良くなる。後半の定積分では、置換積分法と微分積分学の基本定理を適切に用いる。

解法1

(1)

与えられた関数 $f(x)$ に2倍角の公式 $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ を適用する。

$$ f(x) = \cos^2 x \cdot 2\sin x \cos x = 2\sin x \cos^3 x $$

これを $x$ について微分する。積の微分公式と合成関数の微分公式より、

$$ \begin{aligned} f'(x) &= 2\cos x \cdot \cos^3 x + 2\sin x \cdot 3\cos^2 x \cdot (-\sin x) \\ &= 2\cos^4 x - 6\sin^2 x \cos^2 x \\ &= 2\cos^2 x (\cos^2 x - 3\sin^2 x) \end{aligned} $$

$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ を代入すると、

$$ \begin{aligned} f'(x) &= 2\cos^2 x \{\cos^2 x - 3(1 - \cos^2 x)\} \\ &= 2\cos^2 x (4\cos^2 x - 3) \end{aligned} $$

$0 \leqq x \leqq \pi$ において $f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求める。$\cos x = 0$ または $4\cos^2 x - 3 = 0$ であるから、

$$ \cos x = 0 \quad \text{または} \quad \cos x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} $$

$0 \leqq x \leqq \pi$ の範囲では、

$$ x = \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6} $$

増減表は以下のようになる。

$x$	$0$	$\cdots$	$\frac{\pi}{6}$	$\cdots$	$\frac{\pi}{2}$	$\cdots$	$\frac{5\pi}{6}$	$\cdots$	$\pi$
$f'(x)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$		$\nearrow$	極大	$\searrow$		$\searrow$	極小	$\nearrow$

よって、$f(x)$ が増加する $x$ の範囲は $f'(x) \geqq 0$ となる範囲であるため、

$$ 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{6}, \quad \frac{5\pi}{6} \leqq x \leqq \pi $$

極値については、 $x = \frac{\pi}{6}$ のとき、極大値 $f\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3 = \frac{3\sqrt{3}}{8}$ $x = \frac{5\pi}{6}$ のとき、極小値 $f\left(\frac{5\pi}{6}\right) = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3 = -\frac{3\sqrt{3}}{8}$ （$x = \frac{\pi}{2}$ では $f'(x)=0$ となるが符号変化がないため極値をもたない）

(2)

$0 \leqq x \leqq \pi$ において $f(x) \geqq 0$ となる $x$ の範囲を求める。 $f(x) = 2\sin x \cos^3 x$ であり、この範囲では常に $\sin x \geqq 0$ であるため、

$$ f(x) \geqq 0 \iff \cos^3 x \geqq 0 \iff \cos x \geqq 0 $$

これを満たす範囲は $0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ である。求める積分値を $I$ とすると、

$$ I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2\sin x \cos^3 x \, dx $$

$t = \cos x$ と置換する。 $\frac{dt}{dx} = -\sin x$ より $dx = -\frac{dt}{\sin x}$ $x$ と $t$ の対応は以下のようになる。

$x$	$0 \rightarrow \frac{\pi}{2}$
$t$	$1 \rightarrow 0$

したがって、

$$ \begin{aligned} I &= \int_{1}^{0} 2t^3 (-dt) \\ &= \int_{0}^{1} 2t^3 \, dt \\ &= \left[ \frac{1}{2}t^4 \right]_{0}^{1} \\ &= \frac{1}{2} \end{aligned} $$

(3)

(1) の増減表より、$0 \leqq x \leqq \pi$ において $f'(x) \leqq 0$ となる $x$ の範囲は

$$ \frac{\pi}{6} \leqq x \leqq \frac{5\pi}{6} $$

求める積分値を $J$ とすると、微分積分学の基本定理より、

$$ \begin{aligned} J &= \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5\pi}{6}} f'(x) \, dx \\ &= \left[ f(x) \right]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{5\pi}{6}} \\ &= f\left(\frac{5\pi}{6}\right) - f\left(\frac{\pi}{6}\right) \end{aligned} $$

(1) で求めた極値を代入すると、

$$ \begin{aligned} J &= -\frac{3\sqrt{3}}{8} - \frac{3\sqrt{3}}{8} \\ &= -\frac{3\sqrt{3}}{4} \end{aligned} $$

解説

(1) の微分の計算において、$f(x)$ を $\sin x$ と $\cos x$ のみに変形しておくことで、導関数の因数分解が容易になる。$x = \frac{\pi}{2}$ の前後で $f'(x)$ の符号が変化しない点に注意が必要である。増減表を正確に書くことがすべての設問の基礎となる。(3) は直接 $f'(x)$ を積分しようとすると計算が煩雑になるが、「導関数の定積分は元の関数への代入計算である」という微分積分学の基本定理を理解していれば、(1) で求めた $f(x)$ の値を活用して瞬時に答を導くことができる。

答え

(1) 増加する $x$ の範囲：$0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{6}$, $\frac{5\pi}{6} \leqq x \leqq \pi$ 極大値 $\frac{3\sqrt{3}}{8}$ $\left(x = \frac{\pi}{6} \text{ のとき}\right)$ 極小値 $-\frac{3\sqrt{3}}{8}$ $\left(x = \frac{5\pi}{6} \text{ のとき}\right)$

(2) $\frac{1}{2}$

(3) $-\frac{3\sqrt{3}}{4}$