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東京大学 1961年理系第6問解説

方針・初手

（1）については、定積分を含む条件式から $b$ の値を求め、さらに関数が $x = \frac{\pi}{4}$ で極大値をとるための必要条件 $f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = 0$ と $f\left(\frac{\pi}{4}\right) = 6\sqrt{2}$ を用いて $a, c$ を決定する。求めた定数を用いて極大値となる十分性の確認を忘れないこと。

（2）については、$\sin x$ と $\cos x$ の対称式を含む関数の最大・最小問題である。$t = \sin x + \cos x$ と置き換え、$f(x)$ を $t$ の2次関数として表し、合成を用いて求めた $t$ の定義域内で最小値を考える。

解法1

(1)

与えられた関数は以下の通りである。

$$ f(x) = a \sin x + b \cos x + c \sin 2x $$

これを $x$ について微分すると、次の導関数を得る。

$$ f'(x) = a \cos x - b \sin x + 2c \cos 2x $$

$f(x)$ が $x = \frac{\pi}{4}$ で極大値 $6\sqrt{2}$ をとるための必要条件は、$f\left(\frac{\pi}{4}\right) = 6\sqrt{2}$ かつ $f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = 0$ である。

まず、$f'\left(\frac{\pi}{4}\right) = 0$ より、以下の式が成り立つ。

$$ a \cos \frac{\pi}{4} - b \sin \frac{\pi}{4} + 2c \cos \frac{\pi}{2} = 0 $$

$$ \frac{a}{\sqrt{2}} - \frac{b}{\sqrt{2}} = 0 $$

これより、$a = b$ が得られる。

次に、定積分の条件 $\int_0^{2\pi} f(x) \cos x dx = 5\pi$ を計算する。

$$ \int_0^{2\pi} (a \sin x \cos x + b \cos^2 x + c \sin 2x \cos x) dx = 5\pi $$

左辺の積分を項ごとに計算する。

第1項について、以下のようになる。

$$ \int_0^{2\pi} a \sin x \cos x dx = \int_0^{2\pi} \frac{a}{2} \sin 2x dx = \left[ -\frac{a}{4} \cos 2x \right]_0^{2\pi} = 0 $$

第2項について、半角の公式を用いて次のように計算できる。

$$ \int_0^{2\pi} b \cos^2 x dx = \int_0^{2\pi} \frac{b(1 + \cos 2x)}{2} dx = \left[ \frac{b}{2} \left(x + \frac{1}{2} \sin 2x\right) \right]_0^{2\pi} = b\pi $$

第3項について、倍角の公式 $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ を用いると以下のようになる。

$$ \int_0^{2\pi} c \sin 2x \cos x dx = \int_0^{2\pi} 2c \sin x \cos^2 x dx = \left[ -\frac{2c}{3} \cos^3 x \right]_0^{2\pi} = -\frac{2c}{3} (1 - 1) = 0 $$

これらをまとめると、積分値は $b\pi$ となる。これが $5\pi$ と等しいので、$b = 5$ である。

先の条件 $a = b$ より、$a = 5$ も決まる。

続いて、$f\left(\frac{\pi}{4}\right) = 6\sqrt{2}$ の条件を用いる。

$$ 5 \sin \frac{\pi}{4} + 5 \cos \frac{\pi}{4} + c \sin \frac{\pi}{2} = 6\sqrt{2} $$

$$ \frac{5}{\sqrt{2}} + \frac{5}{\sqrt{2}} + c = 6\sqrt{2} $$

$$ 5\sqrt{2} + c = 6\sqrt{2} $$

これより、$c = \sqrt{2}$ と求まる。

ここで求めた $a = 5, b = 5, c = \sqrt{2}$ が十分条件を満たすか確認する。このとき $f'(x)$ は以下のようになる。

$$ f'(x) = 5\cos x - 5\sin x + 2\sqrt{2}\cos 2x $$

$$ f'(x) = 5(\cos x - \sin x) + 2\sqrt{2}(\cos^2 x - \sin^2 x) $$

$$ f'(x) = (\cos x - \sin x) \{5 + 2\sqrt{2}(\cos x + \sin x)\} $$

$x = \frac{\pi}{4}$ のとき、$\cos x - \sin x = 0$ であり、$5 + 2\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4} + \sin \frac{\pi}{4}\right) = 5 + 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 9 > 0$ である。

したがって、$x = \frac{\pi}{4}$ の前後において $5 + 2\sqrt{2}(\cos x + \sin x)$ は正の値をとり、$f'(x)$ の符号は $\cos x - \sin x$ の符号と一致する。 $x$ が $\frac{\pi}{4}$ をまたいで増加するとき、$\cos x - \sin x$ の符号は正から負へと変化するため、$f'(x)$ の符号も正から負に変化し、$f(x)$ は $x = \frac{\pi}{4}$ で確かに極大値をとる。

(2)

（1）の結果より、$f(x)$ は次のように定まる。

$$ f(x) = 5\sin x + 5\cos x + \sqrt{2}\sin 2x $$

ここで、$t = \sin x + \cos x$ とおく。三角関数の合成により、$t$ は次のように変形できる。

$$ t = \sqrt{2} \sin \left(x + \frac{\pi}{4}\right) $$

$0 \leqq x \leqq 2\pi$ であるから、$\frac{\pi}{4} \leqq x + \frac{\pi}{4} \leqq \frac{9\pi}{4}$ となり、$t$ のとり得る値の範囲は以下のようになる。

$$ -\sqrt{2} \leqq t \leqq \sqrt{2} $$

また、$t$ を2乗すると次の関係が得られる。

$$ t^2 = (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + \cos^2 x + 2\sin x \cos x = 1 + \sin 2x $$

したがって、$\sin 2x = t^2 - 1$ と表せる。

これを用いて、$f(x)$ を $t$ の関数 $g(t)$ として表すと以下のようになる。

$$ g(t) = 5t + \sqrt{2}(t^2 - 1) = \sqrt{2}t^2 + 5t - \sqrt{2} $$

この2次関数を平方完成して、最小値を調べる。

$$ g(t) = \sqrt{2} \left( t^2 + \frac{5}{\sqrt{2}} t \right) - \sqrt{2} $$

$$ g(t) = \sqrt{2} \left( t + \frac{5}{2\sqrt{2}} \right)^2 - \sqrt{2} \left( \frac{5}{2\sqrt{2}} \right)^2 - \sqrt{2} $$

$$ g(t) = \sqrt{2} \left( t + \frac{5\sqrt{2}}{4} \right)^2 - \frac{25\sqrt{2}}{8} - \frac{8\sqrt{2}}{8} $$

$$ g(t) = \sqrt{2} \left( t + \frac{5\sqrt{2}}{4} \right)^2 - \frac{33\sqrt{2}}{8} $$

この放物線の軸は $t = -\frac{5\sqrt{2}}{4}$ である。ここで定義域の左端 $-\sqrt{2}$ と軸の大小を比較する。 $-\frac{5}{4} = -1.25$ であり、$-1.25\sqrt{2} < -\sqrt{2}$ であるから、軸は定義域 $-\sqrt{2} \leqq t \leqq \sqrt{2}$ よりも左側にある。

したがって、区間 $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$ において $g(t)$ は単調に増加するため、$t = -\sqrt{2}$ のときに最小値をとる。

最小値は次のように計算できる。

$$ g(-\sqrt{2}) = \sqrt{2}(-\sqrt{2})^2 + 5(-\sqrt{2}) - \sqrt{2} = 2\sqrt{2} - 5\sqrt{2} - \sqrt{2} = -4\sqrt{2} $$

このとき、$t = -\sqrt{2}$ であるから、以下の等式が成り立つ。

$$ \sqrt{2} \sin \left(x + \frac{\pi}{4}\right) = -\sqrt{2} $$

$$ \sin \left(x + \frac{\pi}{4}\right) = -1 $$

$\frac{\pi}{4} \leqq x + \frac{\pi}{4} \leqq \frac{9\pi}{4}$ の範囲でこれを解くと、次のようになる。

$$ x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{2} $$

$$ x = \frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} $$

以上より、$f(x)$ を最小にする $x$ の値とそのときの最小値が求まった。

解説

（1）は定積分と極値の定義に関する基本的な問題である。極値をとる点において導関数が $0$ になることは必要条件に過ぎないため、求めた定数を用いて実際に極大値をとること（十分性）の確認を怠らないよう注意したい。定積分の計算では、直交性や三角関数の倍角・半角の公式を正しく使えるかが問われている。

（2）は $\sin x + \cos x$ と $\sin x \cos x$ （または $\sin 2x$）が混在する関数の典型的な最大・最小問題である。和を $t$ とおき、$t$ の2次関数に帰着させる手法は頻出であるため、確実に押さえておく必要がある。また、置換した文字 $t$ のとり得る範囲を正確に求めることが重要である。