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東北大学 1966年理系第3問解説

方針・初手

不等式の左辺を積の形に変形することを目指す。加法定理を用いて展開するか、和と積の公式を利用することで、因数分解された簡潔な不等式が得られる。その後、得られた各因数の符号の組み合わせによって場合分けを行い、条件を満たす領域を求める。

解法1

与えられた不等式の左辺について、加法定理 $\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$ を用いて展開する。

$$ \begin{aligned} \cos x - \cos y \cos(x+y) &= \cos x - \cos y (\cos x \cos y - \sin x \sin y) \\ &= \cos x - \cos x \cos^2 y + \sin x \sin y \cos y \\ &= \cos x (1 - \cos^2 y) + \sin x \sin y \cos y \end{aligned} $$

ここで、$1 - \cos^2 y = \sin^2 y$ であるから、

$$ \begin{aligned} \cos x \sin^2 y + \sin x \sin y \cos y &= \sin y (\cos x \sin y + \sin x \cos y) \\ &= \sin y \sin(x+y) \end{aligned} $$

したがって、与えられた不等式は次のように変形できる。

$$ \sin y \sin(x+y) > 0 $$

これを満たすのは、以下の (i) または (ii) の場合である。

(i) $\sin y > 0$ かつ $\sin(x+y) > 0$ の場合

$0 \leqq y \leqq 2\pi$ の範囲で $\sin y > 0$ となるのは、$0 < y < \pi$ のときである。このとき、$0 \leqq x \leqq 2\pi$ であるから、$x+y$ のとり得る範囲は $0 < x+y < 3\pi$ となる。この範囲において $\sin(x+y) > 0$ となるのは、

$$ 0 < x+y < \pi \quad \text{または} \quad 2\pi < x+y < 3\pi $$

すなわち、

$$ -x < y < -x+\pi \quad \text{または} \quad -x+2\pi < y < -x+3\pi $$

のときである。

(ii) $\sin y < 0$ かつ $\sin(x+y) < 0$ の場合

$0 \leqq y \leqq 2\pi$ の範囲で $\sin y < 0$ となるのは、$\pi < y < 2\pi$ のときである。このとき、$0 \leqq x \leqq 2\pi$ であるから、$x+y$ のとり得る範囲は $\pi < x+y < 4\pi$ となる。この範囲において $\sin(x+y) < 0$ となるのは、

$$ \pi < x+y < 2\pi \quad \text{または} \quad 3\pi < x+y < 4\pi $$

すなわち、

$$ -x+\pi < y < -x+2\pi \quad \text{または} \quad -x+3\pi < y < -x+4\pi $$

のときである。

以上より、求める領域は (i) と (ii) の範囲を合わせたものになる。

解法2

積和の公式および和積の公式を利用して、不等式を変形する。積和の公式 $\cos A \cos B = \frac{1}{2} \{ \cos(A+B) + \cos(A-B) \}$ を用いると、

$$ \cos y \cos(x+y) = \frac{1}{2} \{ \cos(x+2y) + \cos x \} $$

となる。これを与式に代入すると、

$$ \begin{aligned} \cos x - \frac{1}{2} \{ \cos(x+2y) + \cos x \} &> 0 \\ \frac{1}{2} \cos x - \frac{1}{2} \cos(x+2y) &> 0 \\ \cos x - \cos(x+2y) &> 0 \end{aligned} $$

ここで、和積の公式 $\cos A - \cos B = -2 \sin \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}$ を用いると、

$$ \begin{aligned} -2 \sin \frac{x + (x+2y)}{2} \sin \frac{x - (x+2y)}{2} &> 0 \\ -2 \sin(x+y) \sin(-y) &> 0 \\ 2 \sin(x+y) \sin y &> 0 \end{aligned} $$

両辺を $2$ で割り、

$$ \sin y \sin(x+y) > 0 $$

を得る。これ以降の領域の求め方は解法1と同様である。

解説

三角関数の複雑な式を積の形に直すことで、正負の組み合わせによる場合分けに持ち込むことができる典型的な問題である。加法定理を用いて愚直に展開し因数分解する方針（解法1）でも、積和・和積の公式を活用してスマートに変形する方針（解法2）でも、無理なく同じ不等式に到達できる。領域を図示する際は、元の不等号が $>$ であるため、境界線がすべて含まれないことに注意する。